splay平衡树

• 简介
• 变量声明
• 基础操作
• • clear操作
  • get操作
  • update操作
  • rotate操作
  • splay操作
  • insert操作
  • find操作
  • findth操作
  • pre/nxt操作
  • del操作
  • 完整代码
• 进阶操作一：区间翻转
• • 新增变量
  • 建树操作
  • 下传标记
  • 有目标的splay操作
  • turn操作
  • write操作
  • 完整代码
• 进阶操作二：区间翻转和区间交换
• • revolve操作
  • change操作
• 进阶操作三：以排名为关键字时的插入删除
• • 插入删除
  • 综合了前三个进阶操作的题
• 进阶操作四：任意分裂和合并子树
• • split操作
  • join操作
  • recycle操作

简介

二叉查找树满足任意一个节点，它的左儿子的权值 < \lt <自己的权值 < \lt <右儿子的权值。平衡树在满足二叉查找树条件的情况下各点尽可能分布均匀，使时间常数最小化。
splay平衡树是一种按值排序时可以实现所有普通平衡树的操作，按位置排序时可以实现区间翻转和平移的多功能平衡树。

变量声明

f[i]//i的父节点
ch[i][0]//i的左儿子
ch[i][1]//i的右儿子
key[i]//i的关键字（一般为i代表的那个数字）
cnt[i]//i节点关键字出现的次数
siz[i]//i这个子树的大小（下面有多少个结点）
sz//整棵树的大小（可以参考链向前式星那个表示总边数的变量）
root//整棵树的根

基础操作

下面是几个简单的基本操作：

clear操作

作用：将当前点的各项值都清零（删除之后清理数据）。

inline void clear( int x ) {
	ch[x][0] = ch[x][1] = f[x] = cnt[x] = key[x] = siz[x] = 0;
}

get操作

作用：判断当前的点是它父亲结点的左儿子还是右儿子。

inline int get( int x ) {
	return ch[f[x]][1] == x;//0左1右 
}

update操作

作用：更新当前结点的siz值（发生修改后用）。

inline void update( int x ) {
	if( x ) {
		siz[x] = cnt[x];
		if( ch[x][0] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][0]];
		}
		if( ch[x][1] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][1]];
		}
	}
}

rotate操作

作用：一个利用splay左右儿子标示的特殊性而把左旋右旋结合在一起的操作，使得平衡树更加平衡。
分析：
这是原来的树，我们现在要从点D开始rotate，让调换位置D和它的父结点B，我们在此列出了B，D以及所有可能被影响到的其它点。

这是我们希望的交换后的效果图。

我们先设变量which等于get( x )，其中x代表点D，用which表示D是左儿子还是右儿子。
我们通过观察，不难发现图中B的which儿子，D的which ^ 1儿子，以及B的父结点A（如果有的话）对应的左或右（当场判断）儿子也要换。
总而言之，我们先连BG，再连DB，最后连AD即可。并注意按顺序更新B，D的siz值。

inline void rotate( int x ) {
	int old = f[x] , oldf = f[old] , which = get( x );
	ch[old][which] = ch[x][which ^ 1];
	f[ch[old][which]] = old;
	ch[x][which ^ 1] = old;
	f[old] = x;
	f[x] = oldf;
	if( oldf ) {
		ch[oldf][ch[oldf][1] == old] = x;
	}
	update( old );
	update( x );
	return; 
}

splay操作

作用：rotate的发展，本质是不停地rotate，一直splay到根。
splay的过程中我们要分类讨论：
情况一：三点一线（x，x的父结点，x的祖父结点在一条），先rotatex的父结点，再rotatex本身。否则会形成单旋使平衡树失衡；
情况二：没有三点一线，rotatex即可。

inline void splay( int x ) {
	for ( int fa ; fa = f[x] ; rotate(x) ) {
		if( f[fa] ) {
			rotate( ( get( x ) == get( fa ) ? fa : x ) );
		}
	}
	root = x;
}

insert操作

作用：插入数据。
这里也要分类讨论：
如果root=0，即树为空，我们处理几个变量后直接返回；
否则，我们按照二叉查找树的性质一直往下找，其中：
若当前结点的关键字和要插入的点一样的话，把这个点加一个权值，更新一下当前点和父结点的siz和cnt，再splay上去；
若到了最底下，直接插入，整棵树大小sz加一，新结点的各项值更新一下（父，左右儿子，权值，大小），更新一下当前点的父结点的siz，再splay上去。

inline void insert( int v ) {
	if( root == 0 ) {
		++sz;
		root = sz;
		ch[root][0] = ch[root][1] = f[root] = 0;
		key[root] = v;
		cnt[root] = siz[root] = 1;
		return;
	}
	int cur = root , fa = 0;
	while ( true ) {
		if( key[cur] == v ) {
			++cnt[cur];
			update( cur );
			update( fa );
			splay( cur );//一边rotate，一边往上传值
			break; 
		}
		fa = cur;
		cur = ch[cur][key[cur] < v];
		if( cur == 0 ) {
			++sz;
			ch[sz][0] = ch[sz][1] = 0;
			key[sz] = v;
			siz[sz] = 1;
			cnt[sz] = 1;
			f[sz] = fa;
			ch[fa][key[fa] < v] = sz;
			update( fa );
			splay( sz );
			break;
		} 
	}
}

find操作

作用：查询关键字为v时的排名。
一开始ans为零，当前点为root。
如果v比当前结点的关键字小，则应该向左子树寻找，ans不变；
如果v比当前结点的关键字大，则应该向右子树寻找，ans加上左子树的siz和当前点的cnt。
找到之后ans加一。
最后要splay，别的操作有用。

inline int find( int v ) {
	int ans = 0 , cur = root;
	while ( true ) {
		if( v < key[cur] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			ans += ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 );
			if( v == key[cur] ) {
				splay( cur );
				return ans + 1;
			}
			ans += cnt[cur];
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}

findth操作

作用：查询排名为k的点。
一开始当前点为root。
如果当前点有左子树，并且k小于左子树大小时，可以向左子树寻找；
否则，先用tem表示左子树的siz（没有则为零）和当前点的cnt，看看排名为k的点是否为当前点，然后k去减tem，从右子树开始找。

inline int findth( int k ) {
	int cur = root;
	while ( true ) {
		if( ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			int tem = ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 ) + cnt[cur];
			if( cur <= tem ) {
				return key[cur];
			}
			k -= tem;
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}

pre/nxt操作

作用：pre找前驱，nxt找后继。
splay平衡树找前驱后继的思路是先插入被查找数（已被splay到根结点），前驱就是根节点左子树最右边的结点（最大的小于），后继就是根节点右子树最左边的结点（最小的大于），查找完后再删除被查找数。

inline int pre() {
	int cur = ch[root][0];
	while ( ch[cur][1] ) {
		cur = ch[cur][1];
	}
	return cur;
}
inline int nxt() {
	int cur = ch[root][1];
	while ( ch[cur][0] ) {
		cur = ch[cur][0];
	}
	return cur;
}

int main() {
    insert( x );
    pre();
    del( x );
}

int main() {
    insert( x );
    nxt();
    del( x );
}

del操作

作用：删除关键字为v的点。
这个操作比较麻烦，我们先find一下v，把它旋到根。
接下来我们要分多种情况讨论：
case 1：cnt[root]>1，不止有一个，直接减一；
case 2：root只有一个但没有子结点，直接clear；
case 3：如果root只有左儿子或只有右儿子，直接删了root，唯一的儿子做root；
case 4：root有两个儿子，我们要拿root的前驱作新根，将原先root的右子树接到新root的右子树上（由于选的是前驱，原先root一定没有左子树）。
删完后不忘update。

inline void del( int v ) {
	find( v );
	if( cnt[root] > 1 ) {
		--cnt[root];
		update( root );
		return;
	}
	if( !ch[root][0] && !ch[root][1] ) {
		clear( root );
		root = 0;
		sz = 0;
		return;
	}
	if( !ch[root][0] ) {
		int oldroot = root;
		root = ch[root][1];
		f[root] = 0;
		clear( oldroot );
		--sz;
		return;
	} else if( !ch[root][1] ) {
		int oldroot = root;
		root = ch[root][0];
		f[root] = 0;
		clear( oldroot );
		--sz;
		return;
	}
	int lpre = pre() , oldroot = root;
	splay( lpre );
	f[ch[oldroot][1]] = root;
	ch[root][1] = ch[oldroot][1];
	clear( oldroot );
	update( root );
	return;
}

完整代码

题目

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
int t , opt;
int sz = 0 , root = 0;
int ch[N][2] , f[N] , cnt[N] , key[N] , siz[N];
inline void clear( int x ) {
	ch[x][0] = ch[x][1] = f[x] = cnt[x] = key[x] = siz[x] = 0;
}
inline int get( int x ) {
	return ch[f[x]][1] == x;//0左1右 
}
inline void update( int x ) {
	if( x ) {
		siz[x] = cnt[x];
		if( ch[x][0] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][0]];
		}
		if( ch[x][1] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][1]];
		}
	}
	return;
}
inline void rotate( int x ) {
	int old = f[x] , oldf = f[old] , which = get( x );
	ch[old][which] = ch[x][which ^ 1];
	f[ch[old][which]] = old;
	ch[x][which ^ 1] = old;
	f[old] = x;
	f[x] = oldf;
	if( oldf ) {
		ch[oldf][ch[oldf][1] == old] = x;
	}
	update( old );
	update( x );
	return; 
}
inline void splay( int x ) {
	for ( int fa ; ( fa = f[x] ) ; rotate(x) ) {
		if( f[fa] ) {
			rotate( ( get( x ) == get( fa ) ? fa : x ) );
		}
	}
	root = x;
	return;
}
inline void insert( int v ) {
	if( root == 0 ) {
		++sz;
		root = sz;
		ch[root][0] = ch[root][1] = f[root] = 0;
		key[root] = v;
		cnt[root] = siz[root] = 1;
		return;
	}
	int cur = root , fa = 0;
	while ( true ) {
		if( key[cur] == v ) {
			++cnt[cur];
			update( cur );
			update( fa );
			splay( cur );//一边rotate，一边往上传值
			return; 
		}
		fa = cur;
		cur = ch[cur][key[cur] < v];
		if( cur == 0 ) {
			++sz;
			ch[sz][0] = ch[sz][1] = 0;
			key[sz] = v;
			siz[sz] = 1;
			cnt[sz] = 1;
			f[sz] = fa;
			ch[fa][key[fa] < v] = sz;
			update( fa );
			splay( sz );
			return;
		} 
	}
}
inline int find( int v ) {
	int ans = 0 , cur = root;
	while ( true ) {
		if( v < key[cur] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			ans += ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 );
			if( v == key[cur] ) {
				splay( cur );
				return ans + 1;
			}
			ans += cnt[cur];
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}
inline int findth( int k ) {
	int cur = root;
	while ( true ) {
		if( ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			int tem = ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 ) + cnt[cur];
			if( k <= tem ) {
				return key[cur];
			}
			k -= tem;
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}
inline int pre() {
	int cur = ch[root][0];
	while ( ch[cur][1] ) {
		cur = ch[cur][1];
	}
	return cur;
}
inline int nxt() {
	int cur = ch[root][1];
	while ( ch[cur][0] ) {
		cur = ch[cur][0];
	}
	return cur;
}
inline void del( int v ) {
	find( v );
	if( cnt[root] > 1 ) {
		--cnt[root];
		update( root );
		return;
	}
	if( !ch[root][0] && !ch[root][1] ) {
		clear( root );
		root = 0;
		return;
	}
	if( !ch[root][0] ) {
		int oldroot = root;
		root = ch[root][1];
		f[root] = 0;
		clear( oldroot );
		return;
	} else if( !ch[root][1] ) {
		int oldroot = root;
		root = ch[root][0];
		f[root] = 0;
		clear( oldroot );
		return;
	}
	int lpre = pre() , oldroot = root;
	splay( lpre );
	f[ch[oldroot][1]] = root;
	ch[root][1] = ch[oldroot][1];
	clear( oldroot );
	update( root );
	return;
}
int main() {
    scanf("%d",&t);
    int x;
    while ( t-- ) {
    	scanf("%d",&opt);
    	switch( opt ) {
    		case 1 : {
    			scanf("%d",&x);
    			insert( x );
				break;
			}
			case 2 : {
				scanf("%d",&x);
    			del( x );
				break;
			}
			case 3 : {
				scanf("%d",&x);
				printf("%d\n",find( x ));
				break;
			}
			case 4 : {
				scanf("%d",&x);
				printf("%d\n",findth( x ));
				break;
			}
			case 5 : {
				scanf("%d",&x);
				insert( x );
				printf("%d\n",key[pre()]);
				del( x );
				break;
			}
			case 6 : {
				scanf("%d",&x);
				insert( x );
				printf("%d\n",key[nxt()]);
				del( x );
				break;
			}
		}
	}
    return 0;
}

进阶操作一：区间翻转

splay除了满足一个普通平衡树的所有特点，在我们把key关键字表示的值从结点数值的大小转变成结点的排名（在数组中排第几位），还可以进行区间的翻转和平移。

新增变量

pos[i]//初始序列中i号点对应的key值
tag[i]//标记，表示是否翻转

建树操作

作用：当key关键字表示结点的排名时，平衡树的构建方法也发生了改变。
为了方便处理边界，如果我们要插入一个有n个数的数组，我们要先插入key=1和key=n+2这两个结点来判断，对于剩下的点，它在原数组排第i位，我们就将其赋值为key=i+1。
赋值：

int main() {
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i ) {
    	pos[i + 1] = i;
	}
	pos[1] = -inf;
	pos[n + 2] = inf;
}

建树（尽量平衡）：

int build( int p , int l , int r ) {
	if( l > r ) {
		return 0;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int cur = ++sz;
	key[cur] = pos[mid];
	f[cur] = p;
	tag[cur] = 0;
	ch[cur][0] = build( cur , l , mid - 1 );
	ch[cur][1] = build( cur , mid + 1 , r );
	update( cur );
	return cur;
}

下传标记

作用：tag标识区间的翻转，当该点的tag为一，我们交换其左右儿子表示区间翻转，并把tag传给该点的儿子。

inline void pushdown( int x ) {
	if( x && tag[x] ) {
		tag[ch[x][0]] ^= 1;
		tag[ch[x][1]] ^= 1;
		swap( ch[x][0] , ch[x][1] );
		tag[x] = 0;
	}
}

有目标的splay操作

作用：与普通的splay区别不是很大，加了一个目标goal方便操作，结果是成为goal的儿子（goal为零时成为根节点）。

inline void splay( int x , int goal ) {
	for ( int fa ; ( fa = f[x] ) != goal ; rotate(x) ) {
		if( f[fa] != goal ) {
			rotate( ( get( x ) == get( fa ) ? fa : x ) );
		}
	}
	if( !goal ) {
		root = x;
	}
	return;
}

turn操作

作用：实现区间翻转。
当我们输入l和r时，由于边界结点的存在，我们需要翻转的其实是区间 [ l + 1 , r + 1 ] [l+1,r+1] [l+1,r+1]。
基本思路就是先找出排位l的点，把它splay到根，然后再找出排位r+2的点，把它splay到根（排位l的那个点）的儿子位置（右子树上），我们不难发现此时根节点右子树的左子树上的所有点均在区间 [ l + 1 , r + 1 ] [l+1,r+1] [l+1,r+1]内，且没有遗漏的。我们给根节点右子树的左子树打标记即可。

inline void turn( int l , int r ) {
	l = findth( l );
	r = findth( r + 2 );
	splay( l , 0 );
	splay( r , l );
	pushdown( root );
	tag[ch[ch[root][1]][0]] ^= 1;
	return;
}

write操作

作用：利用二叉搜索树的性质来输出。

void write( int cur ) {
	pushdown( cur );
	if( ch[cur][0] ) {
		write( ch[cur][0] );
	}
	if( key[cur] != -inf && key[cur] != inf ) {
		printf("%d ",num[key[cur]]);
	}
	if( key[ch[cur][1]] ) {
		write( ch[cur][1] );
	}
}

完整代码

题目
只有区间翻转的完整代码，注意findth函数从原本的直接返回值变成了返回下标。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;
int n , m;
int num[N];
int inf = 1e9;
int sz = 0 , root = 0;
int ch[N][2] , f[N] , cnt[N] , key[N] , siz[N] , tag[N] , pos[N];
inline int get( int x ) {
	return ch[f[x]][1] == x;//0左1右 
}
inline void update( int x ) {
	if( x ) {
		siz[x] = cnt[x];
		if( ch[x][0] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][0]];
		}
		if( ch[x][1] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][1]];
		}
	}
	return;
}
inline void pushdown( int x ) {
	if( x && tag[x] ) {
		tag[ch[x][0]] ^= 1;
		tag[ch[x][1]] ^= 1;
		swap( ch[x][0] , ch[x][1] );
		tag[x] = 0;
	}
}
inline void rotate( int x ) {
	int old = f[x] , oldf = f[old] , which = get( x );
	pushdown( old );
	pushdown( x );
	ch[old][which] = ch[x][which ^ 1];
	f[ch[old][which]] = old;
	ch[x][which ^ 1] = old;
	f[old] = x;
	f[x] = oldf;
	if( oldf ) {
		ch[oldf][ch[oldf][1] == old] = x;
	}
	update( old );
	update( x );
	return; 
}
inline void splay( int x , int goal ) {
	for ( int fa ; ( fa = f[x] ) != goal ; rotate(x) ) {
		if( f[fa] != goal ) {
			rotate( ( get( x ) == get( fa ) ? fa : x ) );
		}
	}
	if( !goal ) {
		root = x;
	}
	return;
}
inline int findth( int k ) {
	int cur = root;
	while ( true ) {
		pushdown( cur );
		if( ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			int tem = ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 ) + cnt[cur];
			if( k <= tem ) {
				return cur;
			}
			k -= tem;
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}
int build( int p , int l , int r ) {
	if( l > r ) {
		return 0;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int cur = ++sz;
	key[cur] = pos[mid];
	f[cur] = p;
	tag[cur] = 0;
	siz[cur]++;
	cnt[cur]++;
	ch[cur][0] = build( cur , l , mid - 1 );
	ch[cur][1] = build( cur , mid + 1 , r );
	update( cur );
	return cur;
}
inline void turn( int l , int r ) {
	l = findth( l );
	r = findth( r + 2 );
	splay( l , 0 );
	splay( r , l );
	pushdown( root );
	tag[ch[ch[root][1]][0]] ^= 1;
	return;
}
void write( int cur ) {
	pushdown( cur );
	if( ch[cur][0] ) {
		write( ch[cur][0] );
	}
	if( key[cur] != -inf && key[cur] != inf ) {
		printf("%d ",num[key[cur]]);
	}
	if( key[ch[cur][1]] ) {
		write( ch[cur][1] );
	}
}
int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i ) {
    	num[i] = i;
    	pos[i + 1] = i;
	}
	pos[1] = -inf;
	pos[n + 2] = inf;
	root = build( 0 , 1 , n + 2 );
	for ( int i = 1 ; i <= m ; ++i ) {
		int x , y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		turn( x , y );
	}
	write( root );
    return 0;
}

进阶操作二：区间翻转和区间交换

revolve操作

作用：实现区间平移（区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]循环位移前进 k k k位）。
思路：其实区间平移可以借用区间翻转实现，具体表现为令 k % ( r − l + 1 ) k \% (r-l+1) k%(r−l+1)，则我们可以依次翻转区间 [ l , r ] [l,r] [l,r]， [ l , l + k − 1 ] [l,l+k-1] [l,l+k−1]和 [ l + k , r ] [l+k,r] [l+k,r]，即可实现该操作。

inline void revolve( int x , int y , int z ) {
	int len = ( y - x + 1 );
	z %= len;
	if( !z ) {
		return;
	}
	int mid = x + z - 1;
	turn( x , y );//turn内置了可找到对应排位的点的函数
	turn( x , mid );
	turn( mid + 1 , y );
	return;
}

change操作

作用：实现两个区间交换位置。
思路：其实区间交换也可以借用区间翻转实现，具体表现为如果要交换区间 [ a , b ] [a,b] [a,b]和 [ c , d ] [c,d] [c,d]，其中 a ≤ b < c ≤ d a \le b \lt c \le d a≤b<c≤d，我们可以依次翻转区间 [ a , d ] [a,d] [a,d]， [ a , a + d − c ] [a,a+d-c] [a,a+d−c]， [ d − b + a , d ] [d-b+a,d] [d−b+a,d]和 [ a + d − c + 1 , d − b + a − 1 ] [a+d-c+1,d-b+a-1] [a+d−c+1,d−b+a−1]即可。

inline void change( int a , int b , int c , int d ) {
	if( b >= c ) {
		return;
	}
	turn( a , d );//turn内置了可找到对应排位的点的函数
	turn( a , a + d - c );
	turn( d - b + a , d );
	turn( a + d - c + 1 , d - b + a - 1 );
	return;
}

进阶操作三：以排名为关键字时的插入删除

插入删除

插入删除略有改变，且要经常pushdown。

inline void insert( int x , int y ) {
	x = findth( x + 1 );
	pushdown( x );
	splay( x , 0 );
	++sz;
	num[sz] = y;
	tag[sz] = 0;
	add[sz] = 0;
	cnt[sz] = 1;
	key[sz] = sz;
	ch[sz][1] = ch[root][1];
	f[ch[root][1]] = sz;
	ch[root][1] = sz;
	f[sz] = root;
	update( sz );
	update( root );
	return;
}
inline int pre() {
	pushdown( root );
	int cur = ch[root][0];
	pushdown( cur );
	while ( ch[cur][1] ) {
		cur = ch[cur][1];
		pushdown( cur );
	}
	return cur;
}
inline void del( int x ) {
	x = findth( x + 1 );
	pushdown( x );
	splay( x , 0 );
	int lpre = pre() , oldroot = root;
	splay( lpre , 0 );
	f[ch[oldroot][1]] = root;
	ch[root][1] = ch[oldroot][1];
	clear( oldroot );
	update( root );
	return;
}

综合了前三个进阶操作的题

题目
里面区间加，区间取最小值的操作中取区间的方式参考turn操作。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#define ll long long
#define N 200015
using namespace std;
int n , m;
int sz = 0 , root = 0;
int inf = 1e9;
int pos[N] , a[N];
int ch[N][2] , f[N] , cnt[N] , key[N] , siz[N] , add[N] , tag[N] , num[N] , minn[N];
//num存数值，add存加数，minn存最小值，key还是存排名但是本题中可以不用了。
inline void clear( int x ) {
	ch[x][0] = ch[x][1] = f[x] = cnt[x] = key[x] = siz[x] = add[x] = tag[x] = num[x] = minn[x] = 0;
}
inline int get( int x ) {
	return ch[f[x]][1] == x;//0左1右 
}
inline void update( int x ) {
	if( x ) {
		siz[x] = cnt[x];
		if( ch[x][0] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][0]];
		}
		if( ch[x][1] ) {
			siz[x] += siz[ch[x][1]];
		}
		minn[x] = num[x];
		if( ch[x][0] ) {
			minn[x] = min( minn[x] , minn[ch[x][0]] );
		}
		if( ch[x][1] ) {
			minn[x] = min( minn[x] , minn[ch[x][1]] );
		}
	}
	return;
}
inline void pushadd( int x , int y ) {
	if( !x || !y ) {
		return;
	}
	add[x] += y;
	num[x] += y;
	minn[x] += y;
	return;
}
inline void pushdown( int x ) {
	if( x && add[x] ) {
		pushadd( ch[x][0] , add[x] );
		pushadd( ch[x][1] , add[x] );
		add[x] = 0;
	}
	if( x && tag[x] ) {
		tag[ch[x][0]] ^= 1;
		tag[ch[x][1]] ^= 1;
		swap( ch[x][0] , ch[x][1] );
		tag[x] = 0;
	}
	return;
}
inline void rotate( int x ) {
	int old = f[x] , oldf = f[old] , which = get( x );
	pushdown( old );
	pushdown( x );
	ch[old][which] = ch[x][which ^ 1];
	f[ch[old][which]] = old;
	ch[x][which ^ 1] = old;
	f[old] = x;
	f[x] = oldf;
	if( oldf ) {
		ch[oldf][ch[oldf][1] == old] = x;
	}
	update( old );
	update( x );
	return; 
}
inline void splay( int x ,int goal ) {
	for ( int fa ; ( fa = f[x] ) != goal ; rotate(x) ) {
		if( f[fa] != goal ) {
			rotate( ( get( x ) == get( fa ) ? fa : x ) );
		}
	}
	if( !goal ) {
		root = x;
	}
	pushdown( x );
	return;
}
inline int findth( int k ) {
	int cur = root;
	while ( true ) {
		pushdown( cur );
		if( ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			int tem = ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 ) + cnt[cur];
			if( k <= tem ) {
				return cur;
			}
			k -= tem;
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}
inline void insert( int x , int y ) {
	x = findth( x + 1 );
	pushdown( x );
	splay( x , 0 );
	++sz;
	num[sz] = y;
	tag[sz] = 0;
	add[sz] = 0;
	cnt[sz] = 1;
	key[sz] = sz;
	ch[sz][1] = ch[root][1];
	f[ch[root][1]] = sz;
	ch[root][1] = sz;
	f[sz] = root;
	update( sz );
	update( root );
	return;
}
inline int pre() {
	pushdown( root );
	int cur = ch[root][0];
	pushdown( cur );
	while ( ch[cur][1] ) {
		cur = ch[cur][1];
		pushdown( cur );
	}
	return cur;
}
inline void del( int x ) {
	x = findth( x + 1 );
	pushdown( x );
	splay( x , 0 );
	int lpre = pre() , oldroot = root;
	splay( lpre , 0 );
	f[ch[oldroot][1]] = root;
	ch[root][1] = ch[oldroot][1];
	clear( oldroot );
	update( root );
	return;
}
inline void turn( int l , int r ) {
	if( l == r ) {
		return;
	}
	l = findth( l );
	r = findth( r + 2 );
	pushdown( l );
	pushdown( r );
	splay( l , 0 );
	splay( r , l );
	pushdown( root );
	tag[ch[ch[root][1]][0]] ^= 1;
	return;
}
inline void getmin( int l , int r ) {
	if( l == r ) {
		l = findth( l + 1 );
		pushdown( l );
		printf("%d\n",minn[l]);
		return;
	}
	l = findth( l );
	r = findth( r + 2 );
	pushdown( l );
	pushdown( r );
	splay( l , 0 );
	splay( r , l );
	printf("%d\n",minn[ch[ch[root][1]][0]]);
	return;
}
inline void doadd( int x , int y , int z ) {
	if( x == y ) {
		x = findth( x + 1 );
		pushdown( x );
		num[x] += z;
		return;
	}
	x = findth( x );
	y = findth( y + 2 );
	pushdown( x );
	pushdown( y );
	splay( x , 0 );
	splay( y , x );
	pushadd( ch[ch[root][1]][0] , z );
	return;
}
inline void revolve( int x , int y , int z ) {
	int len = ( y - x + 1 );
	z %= len;
	if( !z ) {
		return;
	}
	int mid = x + z - 1;
	turn( x , y );
	turn( x , mid );
	turn( mid + 1 , y );
	return;
}
int build( int p , int l , int r ) {
	if( l > r ) {
		return 0;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int cur = ++sz;
	key[cur] = pos[mid];
	if( pos[mid] != -inf && pos[mid] != inf ) {
		num[cur] = minn[cur] = a[pos[mid]];
	} else {
		num[cur] = minn[cur] = inf;
	}
	f[cur] = p;
	tag[cur] = 0;
	add[cur] = 0;
	siz[cur]++;
	cnt[cur]++;
	ch[cur][0] = build( cur , l , mid - 1 );
	ch[cur][1] = build( cur , mid + 1 , r );
	update( cur );
	return cur;
}
void write( int cur ) {//测试用 
	pushdown( cur );
	if( ch[cur][0] ) {
		write( ch[cur][0] );
	}
	if( key[cur] != -inf && key[cur] != inf ) {
		printf("%d ",num[cur]);
	}
	if( key[ch[cur][1]] ) {
		write( ch[cur][1] );
	}
}
int main() {
    scanf("%d",&n);
    pos[1] = -inf;
    pos[n + 2] = inf;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i ) {
    	pos[i + 1] = i;
    	scanf("%d",&a[i]);
	}
	root = build( 0 , 1 , n + 2 );
	scanf("%d",&m);
	int x , y , z;
	char str[10];
	while ( m-- ) {
		scanf("%s",str);
        if( str[0] == 'A' ) {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            doadd( x , y , z );
        }
        if( str[0] == 'I' ) {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            insert( x , y );
        }
        if( str[0] == 'D' ) {
            scanf("%d",&x);
            del( x );
        }
        if( str[0] == 'M' ) {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            getmin( x , y );
        }
        if( str[0] == 'R' && str[3] == 'E' ) {
            scanf("%d%d",&x,&y);
            turn( x , y );
        }
        if( str[0] == 'R' && str[3] == 'O' ) {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            revolve( x , y , z );
        }
	}
    return 0;
}

进阶操作四：任意分裂和合并子树

splay还有一个特点,就是具有对于子树的任意分裂和合并的功能。

split操作

作用：单独拿出一个 [ x , x + l e n − 1 ] [x,x+len-1] [x,x+len−1]的区间，当作子树操作。
由于边界结点的存在，我们需要关注的区间是 [ x + 1 , x + l e n ] [x+1,x+len] [x+1,x+len]。
基本思路就是先找出排位x的点，把它splay到根，然后再找出排位x+len+1的点，把它splay到根（排位x的那个点）的儿子位置（右子树上），我们不难发现此时根节点右子树的左子树上的所有点均在区间 [ x + 1 , x + l e n ] [x+1,x+len] [x+1,x+len]内，且没有遗漏的，我们返回根节点右子树的左子树的根的编号，即可实现分离出子树的操作。

inline int split( int x , int len ) {
	int l = findth( x );
	int r = findth( x + len + 1 );
	pushdown( l );
	pushdown( r );
	splay( l , 0 );
	splay( r , l );
	pushdown( root );
	return ch[ch[root][1]][0];
}

join操作

作用：合并两棵子树，我们这里是输入一连串的树，先让那一连串的数自己建树，然后再把这棵树与原来的树合并。

void build( int p , int l , int r ) {
	if( l > r ) {
		return;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int cur = node[mid];
	int fa = node[p];
	num[cur] = a[mid];
	f[cur] = fa;
	tag[cur] = flag[cur] = 0;
	cnt[cur] = 1;
	siz[cur] = 1;
	if( l == r ) {
		sum[cur] = a[mid];
		if( a[mid] >= 0 ) {
			lmaxn[cur] = rmaxn[cur] = maxn[cur] = a[mid];
		} else {
			lmaxn[cur] = rmaxn[cur] = 0;
			maxn[cur] = a[mid];
		}
	} else {
		build( mid , l , mid - 1 );
		build( mid , mid + 1 , r );
	}
	update( cur );
	ch[fa][mid >= p] = cur;
	return;
}
inline void join( int x , int len ) {
	for ( int i = 1 ; i <= len ; ++i ) {
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for ( int i = 1 ; i <= len ; ++i ) {
		if( q.size() ) {
			node[i] = q.front();
			q.pop();
		} else {
			node[i] = ++sz;
		}
	} 
	build( 0 , 1 , len );
	int c = node[( 1 + len ) >> 1];
	int a = findth( x + 1 );
	int b = findth( x + 2 );
	splay( a , 0 );
	splay( b , a );
	f[c] = b;
	ch[b][0] = c;
	update( c );
	update( b );
	update( a );
	return;
}

recycle操作

作用：使表示点的下标可重复利用，用队列辅助处理。

inline void recycle( int x ) {
	if( !x ) {
		return;
	}
	recycle( ch[x][0] );
	recycle( ch[x][1] );
	q.push(x);
	f[x] = ch[x][0] = ch[x][1] = 0;
	flag[x] = tag[x] = 0;
	lmaxn[x] = rmaxn[x] = maxn[x] = 0;
	return;
} 

题目

完整代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <queue>
#define ll long long
#define N 1000015
using namespace std;
int n , m;
int inf = 1e9;
int root , sz;
queue<int> q;
int ch[N][2] , f[N] , cnt[N] , siz[N] , tag[N] , flag[N];
int num[N] , sum[N] , maxn[N] , lmaxn[N] , rmaxn[N];
int a[N] , node[N];
inline int get( int x ) {
	return ch[f[x]][1] == x;//0左1右 
}
inline void update( int x ) {
	sum[x] = num[x] + sum[ch[x][0]] + sum[ch[x][1]];
	siz[x] = cnt[x] + siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]];
	maxn[x] = max( maxn[ch[x][0]] , maxn[ch[x][1]] );
	maxn[x] = max( maxn[x] , rmaxn[ch[x][0]] + num[x] + lmaxn[ch[x][1]] );
	lmaxn[x] = max( lmaxn[ch[x][0]] , sum[ch[x][0]] + num[x] + lmaxn[ch[x][1]] );
	rmaxn[x] = max( rmaxn[ch[x][1]] , sum[ch[x][1]] + num[x] + rmaxn[ch[x][0]] );
	return;
}
inline void pushdown( int x ) {
	if( flag[x] ) {
		tag[x] = flag[x] = 0;
		if( ch[x][0] ) {
			flag[ch[x][0]] = 1;
			num[ch[x][0]] = num[x];
			sum[ch[x][0]] = num[x] * siz[ch[x][0]];
		}
		if( ch[x][1] ) {
			flag[ch[x][1]] = 1;
			num[ch[x][1]] = num[x];
			sum[ch[x][1]] = num[x] * siz[ch[x][1]];
		}
		if( num[x] >= 0 ) {
			if( ch[x][0] ) {
				lmaxn[ch[x][0]] = rmaxn[ch[x][0]] = maxn[ch[x][0]] = sum[ch[x][0]];
			}
			if( ch[x][1] ) {
				lmaxn[ch[x][1]] = rmaxn[ch[x][1]] = maxn[ch[x][1]] = sum[ch[x][1]];
			}
		} else {
			if( ch[x][0] ) {
				lmaxn[ch[x][0]] = rmaxn[ch[x][0]] = 0;
				maxn[ch[x][0]] = num[x];
			}
			if( ch[x][1] ) {
				lmaxn[ch[x][1]] = rmaxn[ch[x][1]] = 0;
				maxn[ch[x][1]] = num[x];
			}
		}
	}
	if( tag[x] ) {
		tag[ch[x][0]] ^= 1;
		tag[ch[x][1]] ^= 1;
		tag[x] ^= 1;
		swap( lmaxn[ch[x][0]] , rmaxn[ch[x][0]] );
		swap( lmaxn[ch[x][1]] , rmaxn[ch[x][1]] );
		swap( ch[ch[x][0]][0] , ch[ch[x][0]][1] );
		swap( ch[ch[x][1]][0] , ch[ch[x][1]][1] );
	}
}
inline void rotate( int x ) {
	int old = f[x] , oldf = f[old] , which = get( x );
	pushdown( old );
	pushdown( x );
	ch[old][which] = ch[x][which ^ 1];
	f[ch[old][which]] = old;
	ch[x][which ^ 1] = old;
	f[old] = x;
	f[x] = oldf;
	if( oldf ) {
		ch[oldf][ch[oldf][1] == old] = x;
	}
	update( old );
	update( x );
	return; 
}
inline void splay( int x ,int goal ) {
	for ( int fa ; ( fa = f[x] ) != goal ; rotate(x) ) {
		if( f[fa] != goal ) {
			rotate( ( get( x ) == get( fa ) ? fa : x ) );
		}
	}
	if( !goal ) {
		root = x;
	}
	pushdown( x );
	return;
}
inline int findth( int k ) {
	int cur = root;
	while ( true ) {
		pushdown( cur );
		if( ch[cur][0] && k <= siz[ch[cur][0]] ) {
			cur = ch[cur][0];
		} else {
			int tem = ( ch[cur][0] ? siz[ch[cur][0]] : 0 ) + cnt[cur];
			if( k <= tem ) {
				return cur;
			}
			k -= tem;
			cur = ch[cur][1];
		}
	}
}
inline int split( int x , int len ) {
	int l = findth( x );
	int r = findth( x + len + 1 );
	pushdown( l );
	pushdown( r );
	splay( l , 0 );
	splay( r , l );
	pushdown( root );
	return ch[ch[root][1]][0];
}
inline void recycle( int x ) {
	if( !x ) {
		return;
	}
	recycle( ch[x][0] );
	recycle( ch[x][1] );
	q.push(x);
	f[x] = ch[x][0] = ch[x][1] = 0;
	flag[x] = tag[x] = 0;
	lmaxn[x] = rmaxn[x] = maxn[x] = 0;
	return;
} 
inline void query( int x , int len ) {
	int k = split( x , len );
	printf("%d\n",sum[k]);
	return;
}
inline void modify( int x , int len , int val ) {
	int a = split( x , len );
	int b = f[a];
	num[a] = val;
	flag[a] = 1;
	sum[a] = siz[a] * val;
	if( val >= 0 ) {
		lmaxn[a] = rmaxn[a] = maxn[a] = sum[a];
	} else {
		lmaxn[a] = rmaxn[a] = 0;
		maxn[a] = val;
	}
	update( b );
	update( f[b] );
	return;
}
inline void turn( int x , int len ) {
	if( len == 1 ) {
		return;
	}
	int a = split( x , len );
	int b = f[a];
	if( !flag[a] ) {
		tag[a] ^= 1;
		swap( ch[a][0] , ch[a][1] );
		swap( lmaxn[a] , rmaxn[a] );
		update( b );
		update( f[b] );
	}
	return;
}
inline void erase( int x , int len ) {
	int a = split( x , len );
	int b = f[a];
	recycle( a );
	ch[b][0] = 0;
	update( b );
	update( f[b] );
	return;
}
void build( int p , int l , int r ) {
	if( l > r ) {
		return;
	}
	int mid = ( l + r ) >> 1;
	int cur = node[mid];
	int fa = node[p];
	num[cur] = a[mid];
	f[cur] = fa;
	tag[cur] = flag[cur] = 0;
	cnt[cur] = 1;
	siz[cur] = 1;
	if( l == r ) {
		sum[cur] = a[mid];
		if( a[mid] >= 0 ) {
			lmaxn[cur] = rmaxn[cur] = maxn[cur] = a[mid];
		} else {
			lmaxn[cur] = rmaxn[cur] = 0;
			maxn[cur] = a[mid];
		}
	} else {
		build( mid , l , mid - 1 );
		build( mid , mid + 1 , r );
	}
	update( cur );
	ch[fa][mid >= p] = cur;
	return;
}
inline void join( int x , int len ) {
	for ( int i = 1 ; i <= len ; ++i ) {
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	for ( int i = 1 ; i <= len ; ++i ) {
		if( q.size() ) {
			node[i] = q.front();
			q.pop();
		} else {
			node[i] = ++sz;
		}
	} 
	build( 0 , 1 , len );
	int c = node[( 1 + len ) >> 1];
	int a = findth( x + 1 );
	int b = findth( x + 2 );
	splay( a , 0 );
	splay( b , a );
	f[c] = b;
	ch[b][0] = c;
	update( c );
	update( b );
	update( a );
	return;
}
int main() {
    scanf("%d%d",&n,&m);
    a[1] = -inf;
    a[n + 2] = -inf;
    maxn[0] = -inf;
    for ( int i = 1 ; i <= n ; ++i ) {
    	scanf("%d",&a[i + 1]);
	}
	for ( int i = 1 ; i <= n + 2 ; ++i ) {
		node[i] = i;
	}
	build( 0 , 1 , n + 2 );
	root = ( 1 + n + 2 ) >> 1;
	sz = n + 2;
	char opt[15];
	while ( m-- ) {
		scanf("%s",opt);
		int x , len , val;
		if( opt[0] != 'M' || opt[2] != 'X' ) {
			scanf("%d%d",&x,&len);
		}
		if( opt[0] == 'I' ) {
			join( x , len );
		}
		if( opt[0] == 'D' ) {
			erase( x , len );
		}
		if( opt[0] == 'M' ) {
			if( opt[2] == 'X' ) {
				printf("%d\n",maxn[root]);
			} else {
				scanf("%d",&val);
				modify( x , len , val );
			}
		}
		if( opt[0] == 'R' ) {
			turn( x , len );
		}
		if( opt[0] == 'G' ) {
			query( x , len );
		}
	}
    return 0;
}