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2023年4月4日发(作者:影音先锋下载)
IOWA算子的概念
定义1:设f
w
:Rm→R为m元函数,W=(W
1
,W
2
,…,W
m
)T是与f
w
有关的加权向量,
满足1
1
m
i
i
w
,wi≥0,i=1,2,…,m,若:12
1
(,,...,)
m
mii
w
i
f
aaawb
,
其中b
i
是a
l
,a
2
,...,a
m
中按从大到小的顺序排列的第i个大的数.则称函数f
w
是m维有序加权平均
算子,简记为OWA算子。
定义1表明OWA算子是对m个数a
l
,a
2
,...,a
m
按从大到小的顺序排序后进行有序加权平均的,权
系数w
i
与数a
i
无关,而是与a
l
,a
2
,...,a
m
的按从大小顺序排的第i个位置有关.
特别地,①当W=(1,0,...,0)T时,OWA算子简化成max算子,即
12
1
(,,...,)maxmi
w
in
f
aaaa
②当W=(0,0,...,1)T时,OWA算子简化成min算子,即:
12
1
(,,...,)minmi
w
in
f
aaaa
③当w=
111
,,...
T
mmm
时,
OWA算子简化成简单算术平均算子,
12
1
1
(,,...,)
m
mi
w
i
n
f
aaaa
定义2设〈v
l
,a
l
〉,〈v
2
,a
2
〉,...,〈v
m
,a
m
〉为m个二维数组,令:
1122()
1
(,,,,...,,)
m
mmivindexi
w
i
g
vavavawa
则称函数g
w
是由v
l
,v
2,…
v
m
所产生的m维诱导有序加权平均算子,简记为IOWA算子,v
i
称为
a
i
的诱导值,其中v-index(i)是v
l
,v
2,…
v
m
中按从大到小的顺序排列的第i个大的数的下标,W=
(W
1
,W
2
,…,W
m
)T是OWA的加权向量,满足1
1,0
m
ii
i
ww
,i=1,2,…,m
定义2表明IOWA算子是对诱导值v
l
,v
2,…
v
m
按从大到小的顺序排序后所对应的a
l
,a
2
,...,a
m
中的数进行有序加权平均,w
i
与数a
i
的大小和位置无关,而是与其诱导值所在的位置有关。
3新模型的建立
设某社会经济现象的指标序列的观察值{x
t
,t=1,2,…N},设有m种可行的单项预测方法对其进
行预测,x
it
为第i种预测方法第t时刻的预测值(或称拟合值),i=1,2,…m,t=1,2,…,N.设L
1,
L
2,…,
L
m
为m种单项预测在组合预测中的加权系数,它满足归一性和非负性,即:
1
1,0
m
ii
i
ll
,
i=1,2,…m.
定义三令
1()/()/1
0,()/1
ittitttitt
ittitt
axxxxxx
axxx
,当时
当时
,i=1,2,…m,t=1,2,…N则称a
it
为第i种预测方法第t时刻预测精度。
显然a
it∈[0,1],我们把预测精度a
it
看成预测值X
it
的诱导值,这样m种单项预测方法第t时刻预
测精度和其对应的在样本区间的预测值就构成了m个二维数组〈a
lt
,x
lt
〉,〈a
2t
,x
2t
〉,…,〈a
mt
,x
mt
〉,
设L=(L
1,
L
2,…,
L
m
)T为各种预测方法在组合预测中的IOWA的加权向量,将m种单项预测方法
第t时刻预测精度序列a
lt
,a
2t
,..,a
mt
按从大到小的顺序排列,设a-index(it)是第i个大的预测精度的
下标,根据定义2,令:
^
1122()
1
(,,,,...,)
m
t
ttttmtmtiaindexit
l
i
xg
axaxaxlx
则式(6)称为由预测精度序列a
lt
,a
2t
,..,a
mt
所产生的IOWA组合预测值.
显然式(6)表明组合预测的赋权系数与单项预测方法无关,而是与单项预测方法在各时点上
的预测精度的大小密切相关,这就是基于IOWA组合预测的特点。
定义四1
22
11
()()
N
i
tit
t
i
NN
tt
xx
tit
i
xx
R
xx
xx
,i=1,2,…m,
^^
1
2
2
11
()()
^^
()
N
t
t
NN
tt
xxx
R
t
x
xxx
x
则称R
i
为第i种单项预测方法预测值序列{x
it
,t=1,2,…N}与实际观察值序列{x
t
,t=1,2,…N}
的相关系数,称R为IOWA的组合预测值序列与实际观察值序列的相关系数。
显然相关系数∣R
i
∣∈[0,1],∣R∣∈[0,1],相关系数越接近1表示IOWA组合预测精度越
高,当R=1时,
^
t
t
xx,t=1,2,…,N,表示组合预测准确无误。
定义五,
i
itit
xex
,
tt
xex
^^^
t
t
exx
,
1
1N
t
it
t
x
N
x
,
1
1N
t
t
x
N
x
,
^^
1
1N
t
t
xx
N
,
则称e
it
为第i种预测方法预测值对其算术平均数在第t时刻的离差,i=1,2,…m,t=1,2,…N.
e
t
指标序列的实际观察值对其算术平均数在第t时刻的离差,
^
te
为IOWA组合预测值对其算术
平均数在第t时刻的离差.
()
()()
aindexit
aindexitaindexit
xex
,
()
()
1
1
aindexit
N
aindexit
t
x
N
x
,实际上对于t时刻IOWA组合
预测值的离差满足如下关系:
()()
^^^
111
1
aindexitaindexit
mNm
t
t
ii
iti
exx
N
lxlx
()()
111
1
aindexitaindexit
mmN
i
iit
N
lxx
()()
()
11
)(
aindexitaindexit
aindexit
mm
ii
ii
xe
ll
x
,
由定义4并注意到(7)式,相关系数R
i
,R也可以用离差序列来表达,即:
1
22
11
N
tit
t
i
NN
tt
tit
ee
R
ee
,
()11
2
2
11()
1
aindexit
Nm
t
ti
NN
tt
i
R
m
ti
aindexit
i
e
e
l
ele
记L=(L
1,
L
2,…,
L
m
)T,则L表示组合预测加权系数列向量,令
()()
1
n
ij
aindexitaindexjt
t
ee
E
,i,j=1,2,…,m,
则称E=(Eij)m×m为m阶IOWA的组合预测协方差信息方阵,则有:
2
1()
1
N
t
m
i
aindexit
i
e
l
()()
111
aindexitaindexjt
Nmm
ij
tij
llee
()()
111
aindexitaindexjt
mmN
ij
ijt
llee
11
mm
T
ij
ij
ij
ELll
EL
所以(8)式可写成下式:
1
22
11
N
tit
t
i
NN
tt
tit
ee
R
ee
,()11
2
1
aindexit
mN
i
it
N
T
t
t
R
EL
t
e
l
e
e
L
显然IOWA的组合预测值序列与实际观察值序列的相关系数R为L
1,
L
2,…,
L
m
的函数,记
为R(L
1,
L
2,…,
L
m
)。从相关系数角度考察组合预测问题的时候,我们希望R(L
1,
L
2,…,
L
m
)愈
大愈好,R(L
1,
L
2,…,
L
m
)越大表示组合预测方法越有效。当组合预测值序列与实际观察值序
列完全相同时,相关系数达到了最大值1。然而预测误差是不可避免的。因此基于IOWA相
关系数的组合预测模型可表示成如下模型(1)
()11
12
2
1
1
max,,...,
1
.
0,1,2,...,
aindexit
mN
i
it
m
N
T
t
m
i
i
i
t
R
EL
t
st
im
e
l
e
lll
e
L
l
l
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