owa

IOWA算子的概念

定义1：设f

w

:Rm→R为m元函数，W=(W

1

,W

2

,…,W

m

)T是与f

w

有关的加权向量，

满足1

1

m

i

i

w





，wi≥0,i=1,2,…,m，若:12

1

(,,...,)

m

mii

w

i

f

aaawb





，

其中b

i

是a

l

,a

2

,...,a

m

中按从大到小的顺序排列的第i个大的数.则称函数f

w

是m维有序加权平均

算子，简记为OWA算子。

定义1表明OWA算子是对m个数a

l

,a

2

,...,a

m

按从大到小的顺序排序后进行有序加权平均的，权

系数w

i

与数a

i

无关，而是与a

l

,a

2

,...,a

m

的按从大小顺序排的第i个位置有关.

特别地，①当W=(1,0,...,0)T时，OWA算子简化成max算子，即

12

1

(,,...,)maxmi

w

in

f

aaaa





②当W=(0,0,...,1)T时，OWA算子简化成min算子，即:

12

1

(,,...,)minmi

w

in

f

aaaa





③当w=

111

,,...

T

mmm







时，

OWA算子简化成简单算术平均算子，

12

1

1

(,,...,)

m

mi

w

i

n

f

aaaa





定义2设〈v

l

,a

l

〉,〈v

2

,a

2

〉,...,〈v

m

,a

m

〉为m个二维数组，令:

1122()

1

(,,,,...,,)

m

mmivindexi

w

i

g

vavavawa





则称函数g

w

是由v

l

,v

2,…

v

m

所产生的m维诱导有序加权平均算子，简记为IOWA算子，v

i

称为

a

i

的诱导值，其中v-index(i)是v

l

,v

2,…

v

m

中按从大到小的顺序排列的第i个大的数的下标，W=

(W

1

,W

2

,…,W

m

)T是OWA的加权向量，满足1

1,0

m

ii

i

ww





，i=1,2,…,m

定义2表明IOWA算子是对诱导值v

l

,v

2,…

v

m

按从大到小的顺序排序后所对应的a

l

,a

2

,...,a

m

中的数进行有序加权平均，w

i

与数a

i

的大小和位置无关，而是与其诱导值所在的位置有关。

3新模型的建立

设某社会经济现象的指标序列的观察值｛x

t

,t=1,2,…N｝,设有m种可行的单项预测方法对其进

行预测，x

it

为第i种预测方法第t时刻的预测值(或称拟合值)，i=1,2,…m,t=1,2,…,N.设L

1,

L

2,…,

L

m

为m种单项预测在组合预测中的加权系数，它满足归一性和非负性，即:

1

1,0

m

ii

i

ll



,

i=1,2,…m.

定义三令

1()/()/1

0,()/1

ittitttitt

ittitt

axxxxxx

axxx















,当时

当时

，i=1,2,…m,t=1,2,…N则称a

it

为第i种预测方法第t时刻预测精度。

显然a

it∈[0,1]，我们把预测精度a

it

看成预测值X

it

的诱导值，这样m种单项预测方法第t时刻预

测精度和其对应的在样本区间的预测值就构成了m个二维数组〈a

lt

,x

lt

〉,〈a

2t

,x

2t

〉,…,〈a

mt

,x

mt

〉，

设L=(L

1,

L

2,…,

L

m

)T为各种预测方法在组合预测中的IOWA的加权向量，将m种单项预测方法

第t时刻预测精度序列a

lt

,a

2t

,..,a

mt

按从大到小的顺序排列,设a-index(it)是第i个大的预测精度的

下标，根据定义2，令:

^

1122()

1

(,,,,...,)

m

t

ttttmtmtiaindexit

l

i

xg

axaxaxlx





则式(6)称为由预测精度序列a

lt

,a

2t

,..,a

mt

所产生的IOWA组合预测值.

显然式(6)表明组合预测的赋权系数与单项预测方法无关，而是与单项预测方法在各时点上

的预测精度的大小密切相关，这就是基于IOWA组合预测的特点。

定义四1

22

11

()()

N

i

tit

t

i

NN

tt

xx

tit

i

xx

R

xx

xx

























,i=1,2,…m,

^^

1

2

2

11

()()

^^

()

N

t

t

NN

tt

xxx

R

t

x

xxx

x







































则称R

i

为第i种单项预测方法预测值序列｛x

it

,t=1,2,…N｝与实际观察值序列｛x

t

,t=1,2,…N｝

的相关系数，称R为IOWA的组合预测值序列与实际观察值序列的相关系数。

显然相关系数∣R

i

∣∈[0,1],∣R∣∈[0,1],相关系数越接近1表示IOWA组合预测精度越

高，当R=1时，

^

t

t

xx，t=1,2,…,N,表示组合预测准确无误。

定义五,

i

itit

xex

,

tt

xex



^^^

t

t

exx



，

1

1N

t

it

t

x

N

x



，

1

1N

t

t

x

N

x



，

^^

1

1N

t

t

xx

N





，

则称e

it

为第i种预测方法预测值对其算术平均数在第t时刻的离差，i=1,2,…m,t=1,2,…N.

e

t

指标序列的实际观察值对其算术平均数在第t时刻的离差，

^

te

为IOWA组合预测值对其算术

平均数在第t时刻的离差.

()

()()

aindexit

aindexitaindexit

xex





，

()

()

1

1

aindexit

N

aindexit

t

x

N

x







，实际上对于t时刻IOWA组合

预测值的离差满足如下关系:

()()

^^^

111

1

aindexitaindexit

mNm

t

t

ii

iti

exx

N

lxlx







()()

111

1

aindexitaindexit

mmN

i

iit

N

lxx













()()

()

11

)(

aindexitaindexit

aindexit

mm

ii

ii

xe

ll

x







，

由定义4并注意到(7)式，相关系数R

i

，R也可以用离差序列来表达，即:

1

22

11

N

tit

t

i

NN

tt

tit

ee

R

ee











，



()11

2

2

11()

1

aindexit

Nm

t

ti

NN

tt

i

R

m

ti

aindexit

i

e

e

l

ele





















记L=(L

1,

L

2,…,

L

m

)T,则L表示组合预测加权系数列向量，令

()()

1

n

ij

aindexitaindexjt

t

ee

E



,i,j=1,2,…,m,

则称E=(Eij)m×m为m阶IOWA的组合预测协方差信息方阵，则有:

2

1()

1

N

t

m

i

aindexit

i

e

l











()()

111

aindexitaindexjt

Nmm

ij

tij

llee













()()

111

aindexitaindexjt

mmN

ij

ijt

llee













11

mm

T

ij

ij

ij

ELll

EL





所以(8)式可写成下式:

1

22

11

N

tit

t

i

NN

tt

tit

ee

R

ee











，()11

2

1

aindexit

mN

i

it

N

T

t

t

R

EL

t

e

l

e

e

L











显然IOWA的组合预测值序列与实际观察值序列的相关系数R为L

1,

L

2,…,

L

m

的函数，记

为R(L

1,

L

2,…,

L

m

)。从相关系数角度考察组合预测问题的时候，我们希望R(L

1,

L

2,…,

L

m

)愈

大愈好，R(L

1,

L

2,…,

L

m

)越大表示组合预测方法越有效。当组合预测值序列与实际观察值序

列完全相同时，相关系数达到了最大值1。然而预测误差是不可避免的。因此基于IOWA相

关系数的组合预测模型可表示成如下模型(1)



()11

12

2

1

1

max,,...,

1

.

0,1,2,...,

aindexit

mN

i

it

m

N

T

t

m

i

i

i

t

R

EL

t

st

im

e

l

e

lll

e

L

l

l



























