多项式时间

NP完全的问题

一个NP－完全的问题具有如下性质：它可以在多项式时间内求解，当且仅当所有的其他的NP－完

全问题也可以在多项式时间内求解。P是所有可在多项式时间内用确定算法求解的判定问题的集合。NP

问题是所有可用多项式时间算法验证其猜测准确性的问题的集合。

令L1和L2是两个问题，如果有一确定的多项式时间算法求解L1，而这个算法使用了一个在多项式

时间内求解L2的确定算法，则称L1约化为L2。如果可满足性约化为一个问题L，则称L问题是NP-

难度的。如果L是NP难度的且L（－NP，则称L是NP－完全的。NP并不是NON-POLYNOMIAL，

把NP说成是NON-POLYNOMIAL，是望文生义，读书不求甚解。事实上，如果你能够证明某个NP问

题是个NON-POLYNOMIAL的问题，你就可以去领那七个百万美元数学大奖中间的一个了。数学上著

名的NP问题，完整的叫法是NP完全问题，也即“NPCOMPLETE”问题，简单的写法，是NP=P？的

问题。问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。证明其中之一，便可以拿百万美元

大奖。这个奖还没有人拿到，也就是说，NP问题到底是Polynomial，还是Non-Polynomial，尚无定论。

NP里面的N，不是Non-Polynomial的N，是Non-Deterministic，P代表Polynomial倒是对的。NP就是

Non-deterministicPolynomial的问题，也即是多项式复杂程度的非确定性问题。

如果一个判定性问题的复杂度是该问题的一个实例规模n的多项式函数，则这种可以在多项式时间

内解决的判定性问题属于P类问题。P类问题就是所有复杂度为多项式时间的问题的集合。通俗地称所

有复杂度为多项式时间的问题为易解的问题类，否则为难解的问题。

有些问题很难找到多项式时间的算法（或许根本不存在），例如“找出无向图中哈米尔顿回路”问题。

但如果给了该问题的一个答案，可以在多项式时间内判断这个答案是否正确。例如说对于哈米尔顿回路

问题，给一个任意的回路，很容易判断它是否是哈米尔顿回路（只要看是不是所有的顶点都在回路中

就可以了）。这种可以在多项式时间内验证一个解是否正确的问题成为NP问题，亦称为验证问题类。

简单的说，存在多项式时间的算法的一类问题，称之为P类问题；而像梵塔问题，推销员旅行问题

等问题，至今没有找到多项式时间算法解的一类问题，称之为NP问题。同时，P类问题是NP问题的一

个子集。

非确定性问题的概述

什么是非确定性问题呢？有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，

按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大

质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样

的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可

以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通

过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你

答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案

正确与否的算法，假如可以在多项式时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。而如果这个问题的所

有可能答案，都是可以在多项式时间内进行正确与否的验算的话，就叫完全多项式非确定问题。完全

多项式非确定性问题可以用穷举法得到答案，一个个检验下去，最终便能得到结果。但是这样算法的

复杂程度，是指数关系，因此计算的时间随问题的复杂程度成指数的增长，很快便变得不可计算了。

人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。

既然这类问题的所有可能答案，都可以在多项式时间内计算，人们於是就猜想，是否这类问题，存在

一个确定性算法，可以在指数时间内，直接算出或是搜寻出正确的答案呢？这就是著名的NP=P？的猜

想。解决这个猜想，无非两种可能，一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到

一个算法，所有这类问题都可以迎刃而解了，因为他们可以转化为同一个问题。另外的一种可能，就

是这样的算法是不存在的。那么就要从数学理论上证明它为什么不存在。

有些看来好像是非多项式的问题，其实是多项式问题，只是人们一时还不知道它的多项式解而已。

NP-hard

其中，NP是指非确定性多项式（non-deterministicpolynomial，缩写NP）。所谓的非确定性是指，

可用一定数量的运算去解决多项式时间内可解决的问题。NP问题通俗来说是其解的正确性能够被“很容

易检查”的问题，这里“很容易检查”指的是存在一个多项式检查算法。相应的，若NP中所有问题到某一

个问题是图灵可归约的，则该问题为NP困难问题

例如，著名的推销员旅行问题（TravelSalemanProblemorTSP）：假设一个推销员需要从香港出发，

经过广州，北京，上海，…，等n个城市，最后返回香港。任意两个城市之间都有飞机直达，但票

价不等。现在假设公司只给报销C元钱，问是否存在一个行程安排，使得他能遍历所有城市，而且总

的路费小于C？

推销员旅行问题显然是NP的。因为如果你任意给出一个行程安排，可以很容易算出旅行总开销。

但是，要想知道一条总路费小于C的行程是否存在，在最坏情况下，必须检查所有可能的旅行安排！这

将是个天文数字。

旅行推销员问题是数图论中最著名的问题之一，即“已给一个n个点的完全图，每条边都有一个长

度，求总长度最短的经过每个顶点正好一次的封闭回路”。Edmonds，Cook和Karp等人发现，这批难题

有一个值得注意的性质，对其中一个问题存在有效算法时，每个问题都会有有效算法。

迄今为止，这类问题中没有一个找到有效算法。目前倾向于接受NP完全问题（NP-Complet或NPC）

和NP难题（NP-Hard或NPH）不存在有效算法这一猜想，认为这类问题的大型实例不能用精确算法求

解，必须寻求这类问题的有效的近似算法。

此类问题中，经典的还有子集和问题；Hamilton回路问题；最大团问题

形式化定义

目前常用的定义是所谓的“关系定义式”。即对于一个语言L，L在NP中，那么存在多项式时间图灵

机M，和多项式p使得

扩展阅读：

多项式时间（Polynomialtime）在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间m(n)不大于问题

大小n的多项式倍数。任何抽象机器都拥有一复杂度类，此类包括可于此机器以多项式时间求解的问题。