参考文献:Ideals, Varieties, and Algorithms (4th ed.) [Cox, Little & O’Shea 2015-06-14]
前置文章:仿射簇 和 Groebner基
Elimination
消元理想(elimination ideal)
域
k
k
k,给定理想
I
=
<
f
1
,
⋯
,
f
s
>
⊆
k
[
x
1
,
⋯
,
x
n
]
I=<f_1,\cdots,f_s> \subseteq k[x_1,\cdots,x_n]
I=<f1,⋯,fs>⊆k[x1,⋯,xn],它的
l
l
l次消元理想( l-th elimination ideal)定义为
I
l
=
I
∩
k
[
x
l
+
1
,
⋯
,
x
n
]
I_l = I \cap k[x_{l+1},\cdots,x_n]
Il=I∩k[xl+1,⋯,xn]
Elimination Theorem
令
I
⊆
k
[
x
1
,
⋯
,
x
n
]
I \subseteq k[x_1,\cdots,x_n]
I⊆k[x1,⋯,xn]是理想,令
G
G
G是它的一组Groebner基,且字典序为
x
1
>
x
2
>
⋯
>
x
n
x_1>x_2>\cdots>x_n
x1>x2>⋯>xn,那么任意的
0
≤
l
≤
n
0 \le l \le n
0≤l≤n,
G
l
=
G
∩
k
[
x
l
+
1
,
⋯
,
x
n
]
G_l = G \cap k[x_{l+1},\cdots,x_n]
Gl=G∩k[xl+1,⋯,xn]
是消元理想
I
l
I_l
Il的一组Groebner基。
Extension
部分解(partial solution)
对于理想 I I I,给定消元理想 I l I_l Il,如果 ( a l + 1 , ⋯ , a n ) ∈ V ( I l ) (a_{l+1},\cdots,a_n) \in V(I_l) (al+1,⋯,an)∈V(Il),我们称它是原始方程系统的部分解。
为了从部分解获得完全解(complete solution),假设消元理想
I
l
−
1
=
<
g
1
,
⋯
,
g
r
>
⊆
k
[
x
l
,
x
l
+
1
,
⋯
,
x
n
]
I_{l-1} = <g_1,\cdots,g_r> \subseteq k[x_l,x_{l+1},\cdots,x_n]
Il−1=<g1,⋯,gr>⊆k[xl,xl+1,⋯,xn],那么我们求解方程
g
1
(
x
l
,
a
l
+
1
,
⋯
,
a
n
)
=
⋯
=
g
r
(
x
l
,
a
l
+
1
,
⋯
,
a
n
)
=
0
g_1(x_l,a_{l+1},\cdots,a_n) = \cdots = g_r(x_l,a_{l+1},\cdots,a_n) = 0
g1(xl,al+1,⋯,an)=⋯=gr(xl,al+1,⋯,an)=0
得到所有可能的分量
x
l
=
a
l
x_l = a_l
xl=al,然后继续计算其他分量,直到扩展到完全解。
Extension Theorem
令
I
=
<
f
1
,
⋯
,
f
s
>
⊆
C
[
x
1
,
⋯
,
x
n
]
I= <f_1,\cdots,f_s> \subseteq C[x_1,\cdots,x_n]
I=<f1,⋯,fs>⊆C[x1,⋯,xn]是复变函数环的理想,令
I
1
I_1
I1是它的
1
1
1次消元理想。对于任意的
1
≤
i
≤
s
1 \le i \le s
1≤i≤s,我们将
f
i
f_i
fi写作如下形式
f
i
=
c
i
(
x
2
,
⋯
,
x
n
)
x
1
N
i
+
f
i
′
f_i = c_i(x_2,\cdots,x_n)x_1^{N_i} + f_i'
fi=ci(x2,⋯,xn)x1Ni+fi′
其中
N
i
=
deg
x
1
f
i
≥
0
N_i = \deg_{x_1} f_i \ge 0
Ni=degx1fi≥0,
f
i
′
f_i'
fi′的关于
x
1
x_1
x1的度数小于
N
i
N_i
Ni,首项系数
c
i
∈
C
[
x
2
,
⋯
,
x
n
]
c_i \in C[x_2,\cdots,x_n]
ci∈C[x2,⋯,xn]非零。假设
(
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∈
V
(
I
1
)
(a_2,\cdots,a_n) \in V(I_1)
(a2,⋯,an)∈V(I1)是部分解,若
(
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∉
V
(
c
1
,
⋯
,
c
s
)
(a_2,\cdots,a_n) \notin V(c_1,\cdots,c_s)
(a2,⋯,an)∈/V(c1,⋯,cs),那么存在
a
1
∈
C
a_1 \in C
a1∈C,使得
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∈
V
(
I
)
(a_1,a_2,\cdots,a_n) \in V(I)
(a1,a2,⋯,an)∈V(I)
在上述定理中, ( a 2 , ⋯ , a n ) ∉ V ( c 1 , ⋯ , c s ) (a_2,\cdots,a_n) \notin V(c_1,\cdots,c_s) (a2,⋯,an)∈/V(c1,⋯,cs)是说理想 I I I的基的前导系数在部分解上并不同时消失(vanish simultaneously)。扩展定理仅当 ( a 2 , ⋯ , a n ) ∈ V ( c 1 , ⋯ , c s ) (a_2,\cdots,a_n) \in V(c_1,\cdots,c_s) (a2,⋯,an)∈V(c1,⋯,cs)时会失效,无法从部分解扩展到完全解。选取不同的基,簇 V ( c 1 , ⋯ , c s ) V(c_1,\cdots,c_s) V(c1,⋯,cs)会改变,我们希望这个簇越小越好。
例子
理想
I
=
<
x
2
+
y
2
+
z
2
−
1
,
x
y
z
−
1
>
I=<x^2+y^2+z^2-1,xyz-1>
I=<x2+y2+z2−1,xyz−1>,按照字典序,计算Groebner基
g
1
=
y
4
z
2
+
y
2
z
4
−
y
2
z
2
+
1
g
2
=
x
+
y
3
z
+
y
z
3
−
y
z
\begin{aligned} g_1 &= y^4z^2 + y^2z^4 - y^2z^2 +1\\ g_2 &= x+y^3z+yz^3-yz\\ \end{aligned}
g1g2=y4z2+y2z4−y2z2+1=x+y3z+yz3−yz
明显有如下消元理想
I
1
=
I
∩
C
[
y
,
z
]
=
<
g
1
>
I
2
=
I
∩
C
[
z
]
=
{
0
}
\begin{aligned} I_1 =& I \cap C[y,z] = <g_1>\\ I_2 =& I \cap C[z] = \{0\}\\ \end{aligned}
I1=I2=I∩C[y,z]=<g1>I∩C[z]={0}
那么由于
I
2
=
{
0
}
I_2 = \{0\}
I2={0},根据零点定理,于是
V
(
I
2
)
=
C
V(I_2) = C
V(I2)=C,即任意的
c
∈
C
c \in C
c∈C都是部分解。
然后由于 I 2 I_2 I2是 I 1 I_1 I1的 1 1 1次消元理想, I 1 = < g 1 > I_1=<g_1> I1=<g1>的首项系数的理想为 < z 2 > <z^2> <z2>,根据扩展定理,除了 c = 0 c=0 c=0其他的部分解都可以继续扩展,得到部分解 ( b , c ) (b,c) (b,c)
然后由于 I 1 I_1 I1是 I I I的 1 1 1次消元理想, I I I的首项系数的理想为 < 1 , y z > <1,yz> <1,yz>,根据扩展定理,由于 V ( 1 ) = ∅ V(1) = \empty V(1)=∅,因此任意的 ( b , c ) (b,c) (b,c)总是可以扩展到完全解 ( a , b , c ) (a,b,c) (a,b,c)上
于是,所有的部分解 c ≠ 0 c \neq 0 c=0,都可以扩展到完全解 ( a , b , c ) ∈ C 3 (a,b,c) \in C^3 (a,b,c)∈C3
推论
在上述的例子中,我们看到了常数的前导系数。
令
I
=
<
f
1
,
⋯
,
f
s
>
⊆
C
[
x
1
,
⋯
,
x
n
]
I= <f_1,\cdots,f_s> \subseteq C[x_1,\cdots,x_n]
I=<f1,⋯,fs>⊆C[x1,⋯,xn]是复变函数环的理想,令
I
1
I_1
I1是它的
1
1
1次消元理想。对于某个
1
≤
i
≤
s
1 \le i \le s
1≤i≤s,
f
i
f_i
fi有如下形式
f
i
=
c
i
x
1
N
i
+
f
i
′
f_i = c_ix_1^{N_i} + f_i'
fi=cix1Ni+fi′
其中
N
i
>
0
N_i > 0
Ni>0是正整数,
f
i
′
f_i'
fi′的关于
x
1
x_1
x1的度数小于
N
i
N_i
Ni,首项系数
c
i
∈
C
c_i \in C
ci∈C非零。假设
(
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∈
V
(
I
1
)
(a_2,\cdots,a_n) \in V(I_1)
(a2,⋯,an)∈V(I1)是部分解,那么总有
(
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∉
V
(
c
i
)
(a_2,\cdots,a_n) \notin V(c_i)
(a2,⋯,an)∈/V(ci),于是总存在
a
1
∈
C
a_1 \in C
a1∈C,使得
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
∈
V
(
I
)
(a_1,a_2,\cdots,a_n) \in V(I)
(a1,a2,⋯,an)∈V(I)
证明 Extension Theorem
过程很复杂,详见书籍Ideals, Varieties, and Algorithms
的Chapter 3.5 3.6
- 利用Groebner基来证明
- 利用Resultants来证明
Geometry of Elimination
Projection map
给定理想
I
=
<
f
1
,
⋯
,
f
s
>
I=<f_1,\cdots,f_s>
I=<f1,⋯,fs>,对应的簇
V
=
V
(
I
)
⊆
C
n
V = V(I) \subseteq C^n
V=V(I)⊆Cn,考虑投影映射
π
l
:
C
n
→
C
n
−
l
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
↦
(
a
l
+
1
,
⋯
,
a
n
)
\begin{aligned} \pi_l: && C^n &&\to&& C^{n-l}\\ && (a_1,\cdots,a_n) &&\mapsto&& (a_{l+1},\cdots,a_n) \end{aligned}
πl:Cn(a1,⋯,an)→↦Cn−l(al+1,⋯,an)
令
I
l
I_l
Il是
I
I
I的消元理想,那么
π
l
(
V
)
⊆
V
(
I
l
)
⊆
C
n
−
l
\pi_l(V) \subseteq V(I_l) \subseteq C^{n-l}
πl(V)⊆V(Il)⊆Cn−l
其中
π
l
(
V
)
=
{
(
a
l
+
1
,
⋯
,
a
n
)
∈
V
(
I
l
)
:
∃
a
1
,
⋯
,
a
l
∈
C
,
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
∈
V
}
\pi_l(V) = \{ (a_{l+1},\cdots,a_n) \in V(I_l): \exists a_1,\cdots,a_l \in C,\,\, (a_1,\cdots,a_n) \in V \}
πl(V)={(al+1,⋯,an)∈V(Il):∃a1,⋯,al∈C,(a1,⋯,an)∈V}
Geometric Extension Theorem
给定理想
I
=
<
f
1
,
⋯
,
f
s
>
I=<f_1,\cdots,f_s>
I=<f1,⋯,fs>,对应的簇
V
=
V
(
I
)
⊆
C
n
V = V(I) \subseteq C^n
V=V(I)⊆Cn。对于任意的
1
≤
i
≤
s
1 \le i \le s
1≤i≤s,我们将
f
i
f_i
fi写作如下形式
f
i
=
c
i
(
x
2
,
⋯
,
x
n
)
x
1
N
i
+
f
i
′
f_i = c_i(x_2,\cdots,x_n)x_1^{N_i} + f_i'
fi=ci(x2,⋯,xn)x1Ni+fi′
其中
N
i
=
deg
x
1
f
i
≥
0
N_i = \deg_{x_1} f_i \ge 0
Ni=degx1fi≥0,
f
i
′
f_i'
fi′的关于
x
1
x_1
x1的度数小于
N
i
N_i
Ni,首项系数
c
i
∈
C
[
x
2
,
⋯
,
x
n
]
c_i \in C[x_2,\cdots,x_n]
ci∈C[x2,⋯,xn]非零。令
I
1
I_1
I1是
I
I
I的消元理想,那么有如下的等式
V
(
I
1
)
=
π
1
(
V
)
∪
(
V
(
c
1
,
⋯
,
c
s
)
∩
V
(
I
1
)
)
V(I_1) = \pi_1(V) \cup (V(c_1,\cdots,c_s) \cap V(I_1))
V(I1)=π1(V)∪(V(c1,⋯,cs)∩V(I1))
Closure Theorem
给定理想 I = < f 1 , ⋯ , f s > I=<f_1,\cdots,f_s> I=<f1,⋯,fs>,对应的簇 V = V ( I ) ⊆ C n V = V(I) \subseteq C^n V=V(I)⊆Cn,以及消元理想 I l I_l Il,那么有
- V ( I l ) V(I_l) V(Il)是包含 π l ( V ) ⊆ C n − l \pi_l(V) \subseteq C^{n-l} πl(V)⊆Cn−l的最小簇(smallest variety)
- 当 V ≠ ∅ V \neq \empty V=∅时,存在一个代数簇 W ⊊ V ( I l ) W \subsetneq V(I_l) W⊊V(Il),使得 V ( I l ) \ W ⊆ π l ( V ) V(I_l) \backslash W \subseteq \pi_l(V) V(Il)\W⊆πl(V)
上述的“最小”意味着:如果 π l ( V ) ⊆ Z ⊆ C n − l \pi_l(V) \subseteq Z \subseteq C^{n-l} πl(V)⊆Z⊆Cn−l是任意仿射簇,那么就有 V ( I l ) ⊆ Z V(I_l) \subseteq Z V(Il)⊆Z
推论
给定理想
I
=
<
f
1
,
⋯
,
f
s
>
I=<f_1,\cdots,f_s>
I=<f1,⋯,fs>,对应的簇
V
=
V
(
I
)
⊆
C
n
V = V(I) \subseteq C^n
V=V(I)⊆Cn。对于某个
1
≤
i
≤
s
1 \le i \le s
1≤i≤s,如果
f
i
f_i
fi有形式
f
i
=
c
i
x
1
N
i
+
f
i
′
f_i = c_ix_1^{N_i} + f_i'
fi=cix1Ni+fi′
其中
N
i
>
0
N_i > 0
Ni>0是正整数,
f
i
′
f_i'
fi′的关于
x
1
x_1
x1的度数小于
N
i
N_i
Ni,首项系数
c
i
∈
C
c_i \in C
ci∈C非零。令
I
1
I_1
I1是
I
I
I的消元理想,那么有如下的等式
V
(
I
1
)
=
π
1
(
V
)
V(I_1) = \pi_1(V)
V(I1)=π1(V)
Implicitization
Implicitization Problem
对于参数方程(parametric equations),如何求出包含参数化(the parametrization)的最小簇 V V V的方程描述?
进一步的,
- 判断参数化是否填满了簇 V V V?
- 如果存在未命中点(missing points),怎么找出它们?
1. case of a polynomial parametrization
给定参数方程组
x
1
=
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
⋮
x
n
=
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
\begin{aligned} x_1 = f_1(t_1,\cdots,t_m)\\ \vdots\\ x_n = f_n(t_1,\cdots,t_m)\\ \end{aligned}
x1=f1(t1,⋯,tm)⋮xn=fn(t1,⋯,tm)
其中
f
i
∈
k
[
t
1
,
⋯
,
t
m
]
f_i \in k[t_1,\cdots,t_m]
fi∈k[t1,⋯,tm],上述的参数方程组可以视作函数
F
:
k
m
→
k
n
F:k^m \to k^n
F:km→kn,
F
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
:
=
(
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
,
⋯
,
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
)
\begin{aligned} F(t_1,\cdots,t_m) := (f_1(t_1,\cdots,t_m), \cdots, f_n(t_1,\cdots,t_m)) \end{aligned}
F(t1,⋯,tm):=(f1(t1,⋯,tm),⋯,fn(t1,⋯,tm))
注意,
F
(
k
m
)
⊆
k
n
F(k^m) \subseteq k^n
F(km)⊆kn可能不是仿射簇,Implicitization Problem要我们寻找包含集合
F
(
k
m
)
F(k^m)
F(km)的最小的仿射簇
V
V
V
定义簇
V
=
V
(
x
1
−
f
1
,
⋯
,
x
n
−
f
n
)
⊆
k
m
+
n
V = V(x_1-f_1,\cdots,x_n-f_n) \subseteq k^{m+n}
V=V(x1−f1,⋯,xn−fn)⊆km+n
它内部的点可以写作如下形式
(
t
1
,
⋯
,
t
m
,
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
,
⋯
,
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
)
⊆
k
m
+
n
(t_1,\cdots,t_m,f_1(t_1,\cdots,t_m),\cdots,f_n(t_1,\cdots,t_m)) \subseteq k^{m+n}
(t1,⋯,tm,f1(t1,⋯,tm),⋯,fn(t1,⋯,tm))⊆km+n
上述的簇
V
V
V可以看做函数
F
F
F的图(graph)
定义注入映射
i
:
k
m
→
k
m
+
n
i:k^m \to k^{m+n}
i:km→km+n
i
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
=
(
t
1
,
⋯
,
t
m
,
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
,
⋯
,
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
)
i(t_1,\cdots,t_m) = (t_1,\cdots,t_m,f_1(t_1,\cdots,t_m),\cdots,f_n(t_1,\cdots,t_m))
i(t1,⋯,tm)=(t1,⋯,tm,f1(t1,⋯,tm),⋯,fn(t1,⋯,tm))
定义射影映射
π
m
:
k
m
+
n
→
k
n
\pi_m:k^{m+n} \to k^{n}
πm:km+n→kn
π
m
(
t
1
,
⋯
,
t
m
,
x
1
,
⋯
,
x
n
)
=
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
\pi_m(t_1,\cdots,t_m,x_1,\cdots,x_n) = (x_1,\cdots,x_n)
πm(t1,⋯,tm,x1,⋯,xn)=(x1,⋯,xn)
很明显,
F
=
π
m
∘
i
F = \pi_m \circ i
F=πm∘i是上述两个映射的组合,且
i
(
k
m
)
=
V
i(k^m)=V
i(km)=V,于是
F
(
k
m
)
=
π
m
(
i
(
k
m
)
)
=
π
m
(
V
)
F(k^m) = \pi_m(i(k^m)) = \pi_m(V)
F(km)=πm(i(km))=πm(V)
Polynomial Implicitization
令 k k k是无限域,函数 F : k m → k n F:k^m \to k^n F:km→kn按照上述的定义,令理想 I = < x 1 − f 1 , ⋯ , x n − f n > ⊆ k [ t 1 , ⋯ , t m , x 1 , ⋯ , x n ] I=<x_1-f_1,\cdots,x_n-f_n> \subseteq k[t_1,\cdots,t_m,x_1,\cdots,x_n] I=<x1−f1,⋯,xn−fn>⊆k[t1,⋯,tm,x1,⋯,xn],令 I m = I ∩ k [ x 1 , ⋯ , x n ] I_m = I \cap k[x_1,\cdots,x_n] Im=I∩k[x1,⋯,xn]是它的 m m m次消元理想,那么 V ( I m ) V(I_m) V(Im)就是 k n k^n kn内包含 F ( k m ) F(k^m) F(km)的最小簇。
implicitization algorithm for polynomial parametrizations:
- 给定参数方程组 x i = f i ( t 1 , ⋯ , t m ) x_i = f_i(t_1,\cdots,t_m) xi=fi(t1,⋯,tm),其中 f i ∈ k [ t 1 , ⋯ , t m ] f_i \in k[t_1,\cdots,t_m] fi∈k[t1,⋯,tm],构造理想 I = < x 1 − f 1 , ⋯ , x n − f n > I=<x_1-f_1,\cdots,x_n-f_n> I=<x1−f1,⋯,xn−fn>
- 计算理想 I I I的Groebner基 G G G,其中的字典序为 t 1 > ⋯ > t m > x 1 > ⋯ > x n t_1>\cdots>t_m>x_1>\cdots>x_n t1>⋯>tm>x1>⋯>xn
- 根据 Elimination 定理,集合 G ′ = G ∩ k [ x 1 , ⋯ , x n ] G'=G \cap k[x_1,\cdots,x_n] G′=G∩k[x1,⋯,xn]就是 I m I_m Im的一组Groebner基
- 根据 Polynomial Implicitization 定理,簇 V ( G ′ ) V(G') V(G′)就是 k n k^n kn上包含 the parametrization 的最小簇。
2. case of a rational parametrization
给定参数方程组
x
1
=
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
g
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
⋮
x
n
=
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
g
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
\begin{aligned} x_1 = \frac{f_1(t_1,\cdots,t_m)}{g_1(t_1,\cdots,t_m)}\\ \vdots\\ x_n = \frac{f_n(t_1,\cdots,t_m)}{g_n(t_1,\cdots,t_m)}\\ \end{aligned}
x1=g1(t1,⋯,tm)f1(t1,⋯,tm)⋮xn=gn(t1,⋯,tm)fn(t1,⋯,tm)
其中
f
i
,
g
i
∈
k
[
t
1
,
⋯
,
t
m
]
f_i,g_i \in k[t_1,\cdots,t_m]
fi,gi∈k[t1,⋯,tm],上述的参数方程组可以视作函数
F
:
k
m
\
W
→
k
n
F:k^m\backslash W \to k^n
F:km\W→kn,
F
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
:
=
(
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
g
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
,
⋯
,
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
g
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
)
\begin{aligned} F(t_1,\cdots,t_m) := (\frac{f_1(t_1,\cdots,t_m)}{g_1(t_1,\cdots,t_m)}, \cdots, \frac{f_n(t_1,\cdots,t_m)}{g_n(t_1,\cdots,t_m)}) \end{aligned}
F(t1,⋯,tm):=(g1(t1,⋯,tm)f1(t1,⋯,tm),⋯,gn(t1,⋯,tm)fn(t1,⋯,tm))
其中
W
=
V
(
g
)
⊆
k
m
W = V(g) \subseteq k^m
W=V(g)⊆km,
g
:
=
g
1
g
2
⋯
g
n
g:=g_1g_2 \cdots g_n
g:=g1g2⋯gn,在簇
W
W
W上函数
F
F
F无定义。
为了控制 rational polynomial 的分母,我们添加一个新变量
y
y
y,考虑多项式环
k
[
y
,
t
1
,
⋯
,
t
m
,
x
1
,
⋯
,
x
n
]
k[y,t_1,\cdots,t_m,x_1,\cdots,x_n]
k[y,t1,⋯,tm,x1,⋯,xn]以及仿射空间
k
1
+
m
+
n
k^{1+m+n}
k1+m+n,定义如下的理想:
J
=
<
g
1
x
1
−
f
1
,
⋯
,
g
n
x
n
−
f
n
,
1
−
g
y
>
J = <g_1x_1-f_1,\cdots,g_nx_n-f_n,1-gy>
J=<g1x1−f1,⋯,gnxn−fn,1−gy>
定义注入映射
j
:
k
m
\
W
→
k
1
+
m
+
n
j:k^m\backslash W \to k^{1+m+n}
j:km\W→k1+m+n
j
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
=
(
1
g
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
,
t
1
,
⋯
,
t
m
,
f
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
g
1
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
,
⋯
,
f
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
g
n
(
t
1
,
⋯
,
t
m
)
)
j(t_1,\cdots,t_m) = (\frac{1}{g(t_1,\cdots,t_m)},t_1,\cdots,t_m,\frac{f_1(t_1,\cdots,t_m)}{g_1(t_1,\cdots,t_m)}, \cdots, \frac{f_n(t_1,\cdots,t_m)}{g_n(t_1,\cdots,t_m)})
j(t1,⋯,tm)=(g(t1,⋯,tm)1,t1,⋯,tm,g1(t1,⋯,tm)f1(t1,⋯,tm),⋯,gn(t1,⋯,tm)fn(t1,⋯,tm))
定义射影映射
π
1
+
m
:
k
1
+
m
+
n
→
k
n
\pi_{1+m}:k^{1+m+n} \to k^{n}
π1+m:k1+m+n→kn
π
1
+
m
(
y
,
t
1
,
⋯
,
t
m
,
x
1
,
⋯
,
x
n
)
=
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
\pi_{1+m}(y,t_1,\cdots,t_m,x_1,\cdots,x_n) = (x_1,\cdots,x_n)
π1+m(y,t1,⋯,tm,x1,⋯,xn)=(x1,⋯,xn)
很明显,
F
=
π
1
+
m
∘
j
F = \pi_{1+m} \circ j
F=π1+m∘j是上述两个映射的组合
可以证明 j ( k m \ W ) = V ( J ) j(k^m\backslash W)=V(J) j(km\W)=V(J):根据 j j j和 J J J的定义,明显 j ( k m \ W ) ⊆ V ( J ) j(k^m\backslash W) \subseteq V(J) j(km\W)⊆V(J);对于任意的点 ( y , t 1 , ⋯ , t m , x 1 , ⋯ , x n ) ∈ V ( J ) (y,t_1,\cdots,t_m,x_1,\cdots,x_n) \in V(J) (y,t1,⋯,tm,x1,⋯,xn)∈V(J), g ( t 1 , ⋯ , t m ) y = 1 g(t_1,\cdots,t_m)y=1 g(t1,⋯,tm)y=1意味着任意的 g i g_i gi在点 ( t 1 , ⋯ , t m ) (t_1,\cdots,t_m) (t1,⋯,tm)上都非零,从而可以求解出 x i = f i ( t 1 , ⋯ , t m ) g i ( t 1 , ⋯ , t m ) x_i = \dfrac{f_i(t_1,\cdots,t_m)}{g_i(t_1,\cdots,t_m)} xi=gi(t1,⋯,tm)fi(t1,⋯,tm),于是这个点属于 j ( k m \ W ) j(k^m\backslash W) j(km\W),即 j ( k m \ W ) ⊇ V ( J ) j(k^m\backslash W) \supseteq V(J) j(km\W)⊇V(J)
于是
F
(
k
m
\
W
)
=
π
1
+
m
(
j
(
k
m
\
W
)
)
=
π
1
+
m
(
V
(
J
)
)
F(k^m\backslash W) = \pi_{1+m}(j(k^m\backslash W)) = \pi_{1+m}(V(J))
F(km\W)=π1+m(j(km\W))=π1+m(V(J))
Rational Implicitization
令 k k k是无限域,函数 F : k m \ W → k n F:k^m\backslash W \to k^n F:km\W→kn按照上述的定义,令理想 J = < g 1 x 1 − f 1 , ⋯ , g n x n − f n , 1 − g y > ⊆ k [ y , t 1 , ⋯ , t m , x 1 , ⋯ , x n ] J=<g_1x_1-f_1,\cdots,g_nx_n-f_n,1-gy> \subseteq k[y,t_1,\cdots,t_m,x_1,\cdots,x_n] J=<g1x1−f1,⋯,gnxn−fn,1−gy>⊆k[y,t1,⋯,tm,x1,⋯,xn],其中 g = g 1 g 2 ⋯ g n g=g_1g_2 \cdots g_n g=g1g2⋯gn, W = V ( g ) W = V(g) W=V(g),令 J 1 + m = J ∩ k [ x 1 , ⋯ , x n ] J_{1+m} = J \cap k[x_1,\cdots,x_n] J1+m=J∩k[x1,⋯,xn]是它的 1 + m 1+m 1+m次消元理想,那么 V ( J 1 + m ) V(J_{1+m}) V(J1+m)就是 k n k^n kn内包含 F ( k m \ W ) F(k^m\backslash W) F(km\W)的最小簇。
implicitization algorithm for rational parametrizations:
- 给定参数方程组 x i = f i ( t 1 , ⋯ , t m ) g i ( t 1 , ⋯ , t m ) x_i = \dfrac{f_i(t_1,\cdots,t_m)}{g_i(t_1,\cdots,t_m)} xi=gi(t1,⋯,tm)fi(t1,⋯,tm),其中 f i , g i ∈ k [ t 1 , ⋯ , t m ] f_i,g_i \in k[t_1,\cdots,t_m] fi,gi∈k[t1,⋯,tm],构造理想 J = < g 1 x 1 − f 1 , ⋯ , g n x n − f n , 1 − g y > J=<g_1x_1-f_1,\cdots,g_nx_n-f_n,1-gy> J=<g1x1−f1,⋯,gnxn−fn,1−gy>
- 计算理想 J J J的Groebner基 G G G,其中的字典序为 y > t 1 > ⋯ > t m > x 1 > ⋯ > x n y>t_1>\cdots>t_m>x_1>\cdots>x_n y>t1>⋯>tm>x1>⋯>xn
- 根据 Elimination 定理,集合 G ′ = G ∩ k [ x 1 , ⋯ , x n ] G'=G \cap k[x_1,\cdots,x_n] G′=G∩k[x1,⋯,xn]就是 J 1 + m J_{1+m} J1+m的一组Groebner基
- 根据 Rational Implicitization 定理,簇 V ( G ′ ) V(G') V(G′)就是 k n k^n kn上包含 the parametrization 的最小簇。
上述算法直到1990年才被KALKBRENER给出。
例子
给定参数方程
x
=
u
2
v
y
=
v
2
u
z
=
u
\begin{aligned} x &= \frac{u^2}{v}\\ y &= \frac{v^2}{u}\\ z &= u\\ \end{aligned}
xyz=vu2=uv2=u
根据算法,我们先定义理想,其中
w
w
w是新变量:
J
=
<
v
x
−
u
2
,
u
y
−
v
2
,
z
−
u
,
1
−
u
v
w
>
J = <vx-u^2,uy-v^2,z-u,1-uvw>
J=<vx−u2,uy−v2,z−u,1−uvw>
令
w
>
u
>
v
>
x
>
y
>
z
w>u>v>x>y>z
w>u>v>x>y>z,容易计算Groebner基,得到
J
3
=
J
∩
k
[
x
,
y
,
z
]
=
<
x
2
y
−
z
3
>
J_3 = J \cap k[x,y,z] = <x^2y-z^3>
J3=J∩k[x,y,z]=<x2y−z3>
因此,簇
V
(
J
3
)
V(J_3)
V(J3)就是包含参数化的最小簇。容易检验
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z)总是落在曲面
x
2
y
=
z
3
x^2y=z^3
x2y=z3上。进一步的,可以验证它们填满了这个簇
V
(
x
2
y
−
z
3
)
V(x^2y-z^3)
V(x2y−z3)(是否填满了簇,这需要针对不同的参数方程具体分析)
Singular Points and Envelopes
假设曲线
f
(
x
,
y
)
=
0
f(x,y)=0
f(x,y)=0在平面
k
2
k^2
k2内,其中
f
∈
k
[
x
,
y
]
f \in k[x,y]
f∈k[x,y],簇
V
(
f
)
∈
k
2
V(f) \in k^2
V(f)∈k2,点
(
a
,
b
)
∈
V
(
f
)
(a,b) \in V(f)
(a,b)∈V(f)。直线
L
L
L经过点
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b),写作关于
t
t
t的参数方程:
x
=
a
+
c
t
y
=
b
+
d
t
x=a+ct\\ y=b+dt
x=a+cty=b+dt
我们说**
L
L
L meets
V
(
f
)
V(f)
V(f) with multiplicity
m
m
m at
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b)**,如果
t
=
0
t=0
t=0是多项式
g
(
t
)
=
f
(
a
+
c
t
,
b
+
d
t
)
g(t) = f(a+ct,b+dt)
g(t)=f(a+ct,b+dt)的
m
m
m重根,即
g
=
t
m
h
g=t^mh
g=tmh,
h
(
0
)
≠
0
h(0) \neq 0
h(0)=0
定义函数
f
f
f的梯度向量(gradient vector)
∇
f
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
)
\nabla f = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} \right)
∇f=(∂x∂f,∂y∂f)
- 如果 ∇ f ( a , b ) ≠ ( 0 , 0 ) \nabla f(a,b) \neq (0,0) ∇f(a,b)=(0,0),那么存在唯一的经过 ( a , b ) (a,b) (a,b)的直线,与 V ( f ) V(f) V(f)相遇的重数大于等于 2 2 2,这条直线叫做切线(tangent line),易知 ∇ f ( a , b ) \nabla f(a,b) ∇f(a,b)与这条切线垂直(perpendicular)
- 如果 ∇ f ( a , b ) = ( 0 , 0 ) \nabla f(a,b) = (0,0) ∇f(a,b)=(0,0),那么任意的经过 ( a , b ) (a,b) (a,b)的直线,与 V ( f ) V(f) V(f)相遇的重数都大于等于 2 2 2
奇异点(Singular Points):令 f ∈ k [ x , y ] f \in k[x,y] f∈k[x,y],点 ( a , b ) ∈ V ( f ) (a,b) \in V(f) (a,b)∈V(f),如果 ∇ f ( a , b ) = ( 0 , 0 ) \nabla f(a,b) = (0,0) ∇f(a,b)=(0,0),那么我们叫它为奇异点;否则,叫做非奇异点(nonsingular point)。
易知,奇异点
(
a
,
b
)
∈
V
(
f
)
(a,b) \in V(f)
(a,b)∈V(f)满足方程组
f
=
∂
f
∂
x
=
∂
f
∂
y
=
0
f = \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0
f=∂x∂f=∂y∂f=0
给定多项式
F
∈
R
[
x
,
y
,
t
]
F \in R[x,y,t]
F∈R[x,y,t],其中
t
∈
R
t \in R
t∈R是固定实数。那么由
F
(
x
,
y
,
t
)
=
0
F(x,y,t)=0
F(x,y,t)=0所定义的簇,记做
V
(
F
t
)
⊆
R
2
V(F_t) \subseteq R^2
V(Ft)⊆R2。让
t
t
t沿着
R
R
R变化,则
V
(
F
t
)
V(F_t)
V(Ft)跟随变化,它们组成了曲线族(family of curves)
包络线(Envelopes):粗略地说,包络线是与一族曲线都相切的曲线。给定
R
2
R^2
R2上的曲线族
V
(
F
t
)
V(F_t)
V(Ft),包络线是一个点集,每个点
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)都对于某些
t
∈
R
t \in R
t∈R,满足以下方程
F
(
x
,
y
,
t
)
=
∂
F
∂
t
(
x
,
y
,
t
)
=
0
F(x,y,t) = \dfrac{\partial F}{\partial t}(x,y,t) = 0
F(x,y,t)=∂t∂F(x,y,t)=0
其中
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)记录包络线的位置,
t
t
t记录这个位置所相切的曲线。
为了计算曲线族 V ( F t ) V(F_t) V(Ft)的包络线,
- 根据函数 F F F,构造理想 I = < F ( x , y , t ) , ∂ F ∂ t ( x , y , t ) > I = <F(x,y,t), \dfrac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)> I=<F(x,y,t),∂t∂F(x,y,t)>
- 字典序 t > x > y t>x>y t>x>y,计算它的Groebner基 G G G
- 那么 G ′ = G ∩ k [ x , y ] G' = G \cap k[x,y] G′=G∩k[x,y]是消元理想 I 1 I_1 I1的Groebner基
- 簇 V ( G ′ ) V(G') V(G′)包含包络线,如果部分解 ( x , y ) ∈ V ( I 1 ) (x,y) \in V(I_1) (x,y)∈V(I1)能够扩展到 I I I的某些完全解 ( x , y , t ) ∈ R 3 (x,y,t) \in R^3 (x,y,t)∈R3,那么点 ( x , y ) (x,y) (x,y)属于包络线
注意,扩展定理是关于 C [ x 1 , ⋯ , x n ] C[x_1,\cdots,x_n] C[x1,⋯,xn]的,因此即使一个点 ( x , y ) ∈ R 2 (x,y) \in R^2 (x,y)∈R2能扩展出某些 t ∈ C t \in C t∈C,也可能不存在 R 3 R^3 R3内的完全解。
另外,簇 V ( I 1 ) V(I_1) V(I1)的奇异点上,可能存在曲线族内的多条曲线与它相切。
例子
曲线族
(
x
−
t
)
2
+
(
y
−
t
2
)
2
=
4
(x-t)^2 + (y-t^2)^2 = 4
(x−t)2+(y−t2)2=4,
下图绘制了包络线以及中心线
(
t
,
t
2
)
(t,t^2)
(t,t2),
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