空间平滑可以解相干的原因

每次看相干信源DOA估计方法，都会提到最最最经典的空间平滑(Spatial smoothing,SS)算法，里面总是说SS可以解相干，却没有解释为什么可以解相干。

那我们来看一看瞧一瞧为什么可以解相干吧~

解相干的数学意义很简单，因为相干信源导致其协方差矩阵秩亏(其信号协方差矩阵的秩不再刚好等于信源个数），所以需要重新构造一个新的矩阵使得它的秩恢复成信源个数。

               图1空间平滑示意图

如图1所示，将N个阵元构成的ULA用滑动分成L个子阵(前向平滑，forward smoothing)，每个子阵有M个单元，其中N=M+L-1，M>P.

 

Q1：为什么Spatial smoothing可以解相干？

假设第l子阵的接收信号，其协方差矩阵为

                               

其中为旋转矩阵，为第一个子阵的阵列流型.

定义spatial forward smoothing协方差矩阵为

                                                                                                    

Pay attention：rank()=P→解相干

Proof:，即证是nonsingular.

，即证G是nonsingular，令ρ为rank operator，

Reference

[1] Tie-Jun Shan, M. Wax and T. Kailath, "On spatial smoothing for direction-of-arrival estimation of coherent signals," in IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 33, no. 4, pp. 806-811, August 1985.