1.概率分布函数（Probability Distribution Functions）

笔记来源：Probability Distribution Functions (PMF, PDF, CDF)

1.1 离散型：PMF和CDF

1.1.1 概率质量函数（PMF）

例子：

1.1.2 累积分布函数（CDF）

离散型随机变量要求和
累积分布函数是把某个给定点之前的所有概率都加起来
P ( X ≤ x ) P(X\leq x) P(X≤x)（随机变量的值不大于 x x x的概率）是多少

计算上面提到的例子的累积分布函数
P ( X < 0 ) = 0   P ( X ≤ 1 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) = 4 / 8   P ( X ≤ 2 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) = 7 / 8   P ( X ≤ 3 ) = P ( X = 0 ) + P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) = 1 P(X\lt 0)=0\\ ~\\ P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=4/8\\ ~\\ P(X\leq 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8\\ ~\\ P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1 P(X<0)=0 P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=4/8 P(X≤2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=7/8 P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1
一枚均匀硬币抛掷 n n n 次，当 k ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 } k\in \{0,1,2,3\} k∈{0,1,2,3} 时，恰好出现 k k k 次正面的概率 f X ( k ) = C 3 k ( 1 2 ) k ( 1 − 1 2 ) 3 − k = C 3 k ( 1 2 ) 3 f_X(k)=C_3^k(\frac{1}{2})^k(1-\frac{1}{2})^{3-k}=C_3^k(\frac{1}{2})^3 fX​(k)=C3k​(21​)k(1−21​)3−k=C3k​(21​)3

累积分布函数 F X F_X FX​
F X ( m ) = { 0 if < 0 ∑ k = 0 m C 3 k ( 1 2 ) 3 if  0 ≤ m ≤ 3 1 if  m ≥ 3 F_X(m)= \begin{cases} 0\quad & \text{if} \lt 0\\ \sum_{k=0}^mC_3^k(\frac{1}{2})^3\quad & \text{if}\ 0\leq m \leq 3\\ 1\quad & \text{if}\ m\geq 3 \end{cases} FX​(m)=⎩⎪⎨⎪⎧​0∑k=0m​C3k​(21​)31​if<0if 0≤m≤3if m≥3​

1.2 连续型：PDF和CDF

选中某两个特定值之间的某个数的概率用这两个特定值与曲线围成的面积来表示

累积分布函数的导数 = = = 概率密度函数的函数值
d F ( x ) d x = f ( x ) \frac{dF(x)}{dx}=f(x) dxdF(x)​=f(x)
概率密度函数与 x x x 轴围成的面积 = = = 累积分布函数的函数值
∫ − ∞ x f ( x ) d x = F ( x ) \int_{-\infty}^xf(x)dx=F(x) ∫−∞x​f(x)dx=F(x)

1.2.1 概率密度函数（PDF）

如果题中说明某分段函数是概率密度函数，则此函数满足上述三个条件

1.2.2 对潜在概率密度函数的标准化

1.2.3 对于连续型随机变量，单元素事件的概率为0

因为 x x x这条线与函数、横轴围成的面积为0，故积分为0

1.2.4 累积分布函数（CDF）

连续型随机变量要求积分
累积分布函数是把某个给定点之前的所有概率都加（积）起来
P ( X ≤ x ) P(X\leq x) P(X≤x)（随机变量的值不大于 x x x的概率）是多少

连续型累积分布函数的极限

由概率密度函数求累积分布函数

如何理解虚拟变量？
详见本人博客 Chapter17：微积分基本定理