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..

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学

文史类(天津卷)

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013天津，文1)已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝()．

A．(－∞，2]B．[1,2]

C．[－2,2]D．[－2,1]

答案：D

解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}，A∩B＝{x|－2≤x≤1}，故选D.

2．(2013天津，文2)设变量x，y满足约束条件

360,

20,

30,

xy

xy

y

















则目标函数z＝y－2x的最小值为()．

A．－7B．－4

C．1D．2

答案：A

解析：作约束条件

360,

20,

30

xy

xy

y

















所表示的可行域，如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直

线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l

0

：y＝2x，平移l

0

，当l

0

过点A(5,3)时，z取最小值，且为－

7，选A.

3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为()．

.

..

A．7B．6

C．5D．4

答案：D

解析：由程序框图可知，n＝1时，S＝－1；n＝2时，S＝1；n＝3时，S＝－2；n＝4时，S＝2≥2，输

出n的值为4，故选D.

4．(2013天津，文4)设a，b∈R，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的()．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b；由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0可以为0，

所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．

5．(2013天津，文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝

()．

A．

1

2

B．1C．2D．

1

2

答案：C

解析：由题意知点P(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，设切线的斜率为k，则

20

21

k







＝－1，解得

1

2

k，

直线ax－y＋1＝0的斜率为a，其与切线垂直，所以

1

2

a＝－1，解得a＝2，故选C.

6．(2013天津，文6)函数

π

sin2

4

fxx









在区间

π

0,

2







上的最小值为()．

A．－1B．

2

2

C．

2

2

D．0

答案：B

解析：因为x∈

π

0,

2







，所以

ππ3π

2,

444

x









，当

ππ

2

44

x，即x＝0时，f(x)取得最小值

2

2

.

7．(2013天津，文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足

f(log

2

a)＋

1

2

(log)fa≤2f(1)，则a的取值范围是()．

A．[1,2]B．

1

0,

2









.

..

C．

1

,2

2







D．(0,2]

答案：C

解析：因为

1

2

loga＝－log

2

a，所以f(log

2

a)＋

1

2

(log)fa＝f(log

2

a)＋f(－log

2

a)＝2f(log

2

a)，原不等式变

为2f(log

2

a)≤2f(1)，即f(log

2

a)≤f(1)．

又因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，

所以|log

2

a|≤1，即－1≤log

2

a≤1，

解得

1

2

≤a≤2，故选C.

8．(2013天津，文8)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则()．

A．g(a)＜0＜f(b)B．f(b)＜0＜g(a)

C．0＜g(a)＜f(b)D．f(b)＜g(a)＜0

答案：A

解析：由f(a)＝ea＋a－2＝0得0＜a＜1.

由g(b)＝lnb＋b2－3＝0得1＜b＜2.

因为g(a)＝lna＋a2－3＜0，

f(b)＝eb＋b－2＞0，

所以f(b)＞0＞g(a)，故选A.

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．

2．本卷共12小题，共110分．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9．(2013天津，文9)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i)＝__________.

答案：5－5i

解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.

10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为

9π

2

，则正方体的棱长为

__________．

答案：

3

解析：由题意知3

49π

π

32

VR

球

，

3

2

R.设正方体的棱长为a，则23a＝2R，a＝

3

，所以正方

体的棱长为

3

.

11．(2013天津，文11)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线

22

22

=1

xy

ab

(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线

的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．

答案

2

21

3

y

x

解析：抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝

c

a

＝2，

故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为

2

21

3

y

x.

12．(2013天津，文12)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC

uuur

·BE

uuur

＝1，

则AB的长为__________．

答案：

1

2

解析：取平面的一组基底{AB

uuur

，AD

uuur

}，则

.

..

AC

uuur

＝AB

uuur

＋AD

uuur

，BE

uuur

＝BC

uuur

＋CE

uuur

＝

1

2



AB

uuur

＋AD

uuur

，

AC

uuur

·BE

uuur

＝(AB

uuur

＋AD

uuur

)·

1

2

ABAD









uuuruuur

＝

1

2

|AB

uuur

|2＋|AD

uuur

|2＋

1

2

AB

uuur

·AD

uuur

＝

1

2

|AB

uuur

|2＋

1

4

|AB

uuur

|＋1＝1，解方程得|AB

uuur

|＝

1

2

(舍去|AB

uuur

|＝0)，所以线段AB的长为

1

2

.

13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点

E.若AB＝AD＝5，BE＝4，则弦BD的长为__________．

答案：

15

2

解析：因为在圆内接梯形ABCD中，AB∥DC，所以AD＝BC，∠BAD＋∠BCD＝180°，∠ABE＝∠BCD.

所以∠BAD＋∠ABE＝180°.

又因为AE为圆的切线，

所以AE2＝BE·EC＝4×9＝36，故AE＝6.

在△ABE中，由余弦定理得

cos∠ABE＝

2221

28

ABBEAE

ABBE







，

cos∠BAD＝cos(180°－∠ABE)＝－cos∠ABE＝

1

8

，

.

..

在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD＝

225

4

，所以BD＝

15

2

.

14．(2013天津，文14)设a＋b＝2，b＞0，则

1||

2||

a

ab

的最小值为__________．

答案：

3

4

解析：因为a＋b＝2，

所以

2

ab

＝1，

1||

2||

a

ab

＝

||||

2

2||4||4||

ab

aaba

abaab



≥

||

2+1

4||4||4||

abaa

aaba

，，当且仅当b＝

2|a|时，等号成立．

当a＞0时，

5

+1=

4||4

a

a

，故

1||5

2||4

a

ab

；

当a＜0时，

3

+1=

4||4

a

a

，

1||3

2||4

a

ab

.

综上可得最小值为

3

4

.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．

15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z

评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质

量指标列表如下：

产品编号A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

质量指标

(x，y，z)

(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)

产品编号A

6

A

7

A

8

A

9

A

10

质量指标

(x，y，z)

(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；

(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，

①用产品编号列出所有可能的结果；

②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．

解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：

产品编号A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

A

8

A

9

A

10

S4463454535

其中S≤4的有A

1

，A

2

，A

4

，A

5

，A

7

，A

9

，共6件，故该样本的一等品率为

6

10

＝0.6，从而可估计该批

产品的一等品率为0.6.

(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A

1

，A

2

}，{A

1

，A

4

}，{A

1

，A

5

}，{A

1

，

A

7

}，{A

1

，A

9

}，{A

2

，A

4

}，{A

2

，A

5

}，{A

2

，A

7

}，{A

2

，A

9

}，{A

4

，A

5

}，{A

4

，A

7

}，{A

4

，A

9

}，{A

5

，A

7

}，

{A

5

，A

9

}，{A

7

，A

9

}，共15种．

②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A

1

，A

2

，A

5

，A

7

，则事件B发生的所有

可能结果为{A

1

，A

2

}，{A

1

，A

5

}，{A

1

，A

7

}，{A

2

，A

5

}，{A

2

，A

7

}，{A

5

，A

7

}，共6种．所以P(B)＝

62

105

.

16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bsinA

.

..

＝3csinB，a＝3，cosB＝

2

3

.

(1)求b的值；

(2)求

π

sin2

3

B









的值．

解：(1)在△ABC中，由

sinsin

ab

AB

，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝3csinB，可得a＝3c，

又a＝3，故c＝1.

由b2＝a2＋c2－2accosB，

2

cos

3

B，可得6b.

(2)由

2

cos

3

B，得sinB＝

5

3

，进而得

cos2B＝2cos2B－1＝

1

9

，sin2B＝2sinBcosB＝

45

9

.

所以

π

sin2

3

B









＝

ππ453

sin2coscos2sin

3318

BB



.

17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，侧棱A

1

A⊥底面ABC，且各棱

长均相等，D，E，F分别为棱AB，BC，A

1

C

1

的中点．

(1)证明EF∥平面A

1

CD；

(2)证明平面A

1

CD⊥平面A

1

ABB

1

；

(3)求直线BC与平面A

1

CD所成角的正弦值．

(1)证明：如图，在三棱柱ABC－A

1

B

1

C

1

中，AC∥A

1

C

1

，且AC＝A

1

C

1

，连接ED，在△ABC中，因为

D，E分别为AB，BC的中点，

.

..

所以DE＝

1

2

AC且DE∥AC，

又因为F为A

1

C

1

的中点，可得A

1

F＝DE，且A

1

F∥DE，即四边形A

1

DEF为平行四边形，

所以EF∥DA

1

.

又EF⊄平面A

1

CD，DA

1

⊂平面A

1

CD，

所以EF∥平面A

1

CD.

(2)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，

又由于侧棱A

1

A⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，

所以A

1

A⊥CD，

又A

1

A∩AB＝A，

因此CD⊥平面A

1

ABB

1

，而CD⊂平面A

1

CD，

所以平面A

1

CD⊥平面A

1

ABB

1

.

(3)解：在平面A

1

ABB

1

内，过点B作BG⊥A

1

D交直线A

1

D于点G，连接CG.

由于平面A

1

CD⊥平面A

1

ABB

1

，而直线A

1

D是平面A

1

CD与平面A

1

ABB

1

的交线，

故BG⊥平面A

1

CD.

由此得∠BCG为直线BC与平面A

1

CD所成的角．

设棱长为a，可得A

1

D＝

5

2

a

，

由△A

1

AD∽△BGD，易得BG＝

5

2

a

.

在Rt△BGC中，sin∠BCG＝

5

5

BG

BC

.

所以直线BC与平面A

1

CD所成角的正弦值为

5

5

.

18．(2013天津，文18)(本小题满分13分)设椭圆

22

22

=1

xy

ab

(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为

3

3

，过

点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

43

3

.

(1)求椭圆的方程；

(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若AC

uuur

·DB

uuur

＋AD

uuur

·CB

uuur

＝8，求k的值．

解：(1)设F(－c,0)，由

3

3

c

a

，知

3ac

.

.

..

过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有

22

22

()

1

cy

ab



，解得

6

3

b

y，

于是

2643

33

b

，解得b＝2，

又a2－c2＝b2，从而a＝

3

，c＝1，

所以椭圆的方程为

22

=1

32

xy

.

(2)设点C(x

1

，y

1

)，D(x

2

，y

2

)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，

由方程组22

1,

1

32

ykx

xy















消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

求解可得x

1

＋x

2

＝

2

2

6

23

k

k





，x

1

x

2

＝

2

2

36

23

k

k





.

因为A(

3

，0)，B(

3

，0)，

所以AC

uuur

·DB

uuur

＋AD

uuur

·CB

uuur

＝(x

1

＋3，y

1

)·(3－x

2

，－y

2

)＋(x

2

＋3，y

2

)·(3－x

1

，－y

1

)

＝6－2x

1

x

2

－2y

1

y

2

＝6－2x

1

x

2

－2k2(x

1

＋1)(x

2

＋1)

＝6－(2＋2k2)x

1

x

2

－2k2(x

1

＋x

2

)－2k2

＝

2

2

212

6

23

k

k







.

由已知得

2

2

212

6

23

k

k







＝8，

解得k＝2.

19．(2013天津，文19)(本小题满分14分)已知首项为

3

2

的等比数列{a

n

}的前n项和为S

n

(n∈N*)，且－2S

2

，

S

3,

4S

4

成等差数列．

(1)求数列{a

n

}的通项公式；

(2)证明

113

6n

n

S

S

(n∈N*)．

(1)解：设等比数列{a

n

}的公比为q，因为－2S

2

，S

3,

4S

4

成等差数列，

所以S

3

＋2S

2

＝4S

4

－S

3

，即S

4

－S

3

＝S

2

－S

4

，可得2a

4

＝－a

3

，于是4

3

1

2

a

q

a

.

又a

1

＝

3

2

，所以等比数列{a

n

}的通项公式为

1

1

313

(1)

222

n

n

n

n

a













.

(2)证明

1

1

2

n

n

S









，

111

1

2

1

1

2

n

n

n

n

S

S

















1

1

2

22

1

2.

221

nn

nn

n

n



























，为奇数，

，为偶数

当n为奇数时，

1

n

n

S

S

随n的增大而减小，所以

1

1

1113

=

6n

n

SS

SS

.

.

..

当n为偶数时，

1

n

n

S

S

随n的增大而减小，所以

2

2

1125

=

12n

n

SS

SS

.

故对于n∈N*，有

113

6n

n

S

S

.

20．(2013天津，文20)(本小题满分14分)设a∈[－2,0]，已知函数

3

32

50

3

0.

2

xaxx

fx

a

xxaxx

















，，

＝

，

(1)证明f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增；

(2)设曲线y＝f(x)在点P

i

(x

i

，f(x

i

))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，且x

1

x

2

x

3

≠0.证明x

1

＋x

2

＋x

3

＞

1

3

.

证明：(1)设函数f

1

(x)＝x3－(a＋5)x(x≤0)，f

2

(x)＝32

3

2

a

xxax



(x≥0)，

①f

1

′(x)＝3x2－(a＋5)，由a∈[－2,0]，从而当－1＜x＜0时，f

1

′(x)＝3x2－(a＋5)＜3－a－5≤0，所以函

数f

1

(x)在区间(－1,0]内单调递减．

②f

2

′(x)＝3x2－(a＋3)x＋a＝(3x－a)(x－1)，由于a∈[－2,0]，所以当0＜x＜1时，f

2

′(x)＜0；当x＞1时，

f

2

′(x)＞0.即函数f

2

(x)在区间[0,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．

综合①，②及f

1

(0)＝f

2

(0)，可知函数f(x)在区间(－1,1)内单调递减，在区间(1，＋∞)内单调递增．

(2)由(1)知f′(x)在区间(－∞，0)内单调递减，在区间

3

0

6

a







，内单调递减，在区间

3

6

a









，内单

调递增．

因为曲线y＝f(x)在点P

i

(x

i

，f(x

i

))(i＝1,2,3)处的切线相互平行，从而x

1

，x

2

，x

3

互不相等，且f′(x

1

)＝f′(x

2

)

＝f′(x

3

)．不妨设x

1

＜0＜x

2

＜x

3

，由2

1

3x－(a＋5)＝2

2

3x－(a＋3)x

2

＋a＝2

3

3x－(a＋3)x

3

＋a，

可得22

23

33xx－(a＋3)(x

2

－x

3

)＝0，解得x

2

＋x

3

＝

3

3

a

，从而0＜x

2

＜

3

6

a

＜x

3

.

设g(x)＝3x2－(a＋3)x＋a，则

3

6

a

g









＜g(x

2

)＜g(0)＝a.

由2

1

3x－(a＋5)＝g(x

2

)＜a，解得

25

3

a



＜x

1

＜0，

所以x

1

＋x

2

＋x

3

＞

253

33

aa



，

设t＝

25

3

a

，则a＝

235

2

t

，

因为a∈[－2,0]，所以t∈

315

,

33







，

故x

1

＋x

2

＋x

3

＞

2

2

31111

(1)

6233

t

tt



，即x

1

＋x

2

＋x

3

＞

1

3

.