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2023年4月2日发(作者:drawtext)
.
..
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学
文史类(天津卷)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2013天津,文1)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则A∩B=().
A.(-∞,2]B.[1,2]
C.[-2,2]D.[-2,1]
答案:D
解析:解不等式|x|≤2,得-2≤x≤2,即A={x|-2≤x≤2},A∩B={x|-2≤x≤1},故选D.
2.(2013天津,文2)设变量x,y满足约束条件
360,
20,
30,
xy
xy
y
则目标函数z=y-2x的最小值为().
A.-7B.-4
C.1D.2
答案:A
解析:作约束条件
360,
20,
30
xy
xy
y
所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直
线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l
0
:y=2x,平移l
0
,当l
0
过点A(5,3)时,z取最小值,且为-
7,选A.
3.(2013天津,文3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为().
.
..
A.7B.6
C.5D.4
答案:D
解析:由程序框图可知,n=1时,S=-1;n=2时,S=1;n=3时,S=-2;n=4时,S=2≥2,输
出n的值为4,故选D.
4.(2013天津,文4)设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a<b”的().
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:A
解析:因为a2≥0,而(a-b)a2<0,所以a-b<0,即a<b;由a<b,a2≥0,得到(a-b)a2≤0可以为0,
所以“(a-b)a2<0”是“a<b”的充分而不必要条件.
5.(2013天津,文5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=
().
A.
1
2
B.1C.2D.
1
2
答案:C
解析:由题意知点P(2,2)在圆(x-1)2+y2=5上,设切线的斜率为k,则
20
21
k
=-1,解得
1
2
k,
直线ax-y+1=0的斜率为a,其与切线垂直,所以
1
2
a=-1,解得a=2,故选C.
6.(2013天津,文6)函数
π
sin2
4
fxx
在区间
π
0,
2
上的最小值为().
A.-1B.
2
2
C.
2
2
D.0
答案:B
解析:因为x∈
π
0,
2
,所以
ππ3π
2,
444
x
,当
ππ
2
44
x,即x=0时,f(x)取得最小值
2
2
.
7.(2013天津,文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足
f(log
2
a)+
1
2
(log)fa≤2f(1),则a的取值范围是().
A.[1,2]B.
1
0,
2
.
..
C.
1
,2
2
D.(0,2]
答案:C
解析:因为
1
2
loga=-log
2
a,所以f(log
2
a)+
1
2
(log)fa=f(log
2
a)+f(-log
2
a)=2f(log
2
a),原不等式变
为2f(log
2
a)≤2f(1),即f(log
2
a)≤f(1).
又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上递增,
所以|log
2
a|≤1,即-1≤log
2
a≤1,
解得
1
2
≤a≤2,故选C.
8.(2013天津,文8)设函数f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,则().
A.g(a)<0<f(b)B.f(b)<0<g(a)
C.0<g(a)<f(b)D.f(b)<g(a)<0
答案:A
解析:由f(a)=ea+a-2=0得0<a<1.
由g(b)=lnb+b2-3=0得1<b<2.
因为g(a)=lna+a2-3<0,
f(b)=eb+b-2>0,
所以f(b)>0>g(a),故选A.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2.本卷共12小题,共110分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(2013天津,文9)i是虚数单位,复数(3+i)(1-2i)=__________.
答案:5-5i
解析:(3+i)(1-2i)=3-6i+i-2i2=5-5i.
10.(2013天津,文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为
9π
2
,则正方体的棱长为
__________.
答案:
3
解析:由题意知3
49π
π
32
VR
球
,
3
2
R.设正方体的棱长为a,则23a=2R,a=
3
,所以正方
体的棱长为
3
.
11.(2013天津,文11)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线
22
22
=1
xy
ab
(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线
的离心率为2,则该双曲线的方程为__________.
答案
2
21
3
y
x
解析:抛物线y2=8x的准线为x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0),即c=2,离心率e=
c
a
=2,
故a=1,由a2+b2=c2得b2=3,所以双曲线的方程为
2
21
3
y
x.
12.(2013天津,文12)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC
uuur
·BE
uuur
=1,
则AB的长为__________.
答案:
1
2
解析:取平面的一组基底{AB
uuur
,AD
uuur
},则
.
..
AC
uuur
=AB
uuur
+AD
uuur
,BE
uuur
=BC
uuur
+CE
uuur
=
1
2
AB
uuur
+AD
uuur
,
AC
uuur
·BE
uuur
=(AB
uuur
+AD
uuur
)·
1
2
ABAD
uuuruuur
=
1
2
|AB
uuur
|2+|AD
uuur
|2+
1
2
AB
uuur
·AD
uuur
=
1
2
|AB
uuur
|2+
1
4
|AB
uuur
|+1=1,解方程得|AB
uuur
|=
1
2
(舍去|AB
uuur
|=0),所以线段AB的长为
1
2
.
13.(2013天津,文13)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC.过点A作圆的切线与CB的延长线交于点
E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为__________.
答案:
15
2
解析:因为在圆内接梯形ABCD中,AB∥DC,所以AD=BC,∠BAD+∠BCD=180°,∠ABE=∠BCD.
所以∠BAD+∠ABE=180°.
又因为AE为圆的切线,
所以AE2=BE·EC=4×9=36,故AE=6.
在△ABE中,由余弦定理得
cos∠ABE=
2221
28
ABBEAE
ABBE
,
cos∠BAD=cos(180°-∠ABE)=-cos∠ABE=
1
8
,
.
..
在△ABD中,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=
225
4
,所以BD=
15
2
.
14.(2013天津,文14)设a+b=2,b>0,则
1||
2||
a
ab
的最小值为__________.
答案:
3
4
解析:因为a+b=2,
所以
2
ab
=1,
1||
2||
a
ab
=
||||
2
2||4||4||
ab
aaba
abaab
≥
||
2+1
4||4||4||
abaa
aaba
,,当且仅当b=
2|a|时,等号成立.
当a>0时,
5
+1=
4||4
a
a
,故
1||5
2||4
a
ab
;
当a<0时,
3
+1=
4||4
a
a
,
1||3
2||4
a
ab
.
综上可得最小值为
3
4
.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤.
15.(2013天津,文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z
评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质
量指标列表如下:
产品编号A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
质量指标
(x,y,z)
(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)
产品编号A
6
A
7
A
8
A
9
A
10
质量指标
(x,y,z)
(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)
(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;
(2)在该样本的一等品中,随机抽取2件产品,
①用产品编号列出所有可能的结果;
②设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.
解:(1)计算10件产品的综合指标S,如下表:
产品编号A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
A
9
A
10
S4463454535
其中S≤4的有A
1
,A
2
,A
4
,A
5
,A
7
,A
9
,共6件,故该样本的一等品率为
6
10
=0.6,从而可估计该批
产品的一等品率为0.6.
(2)①在该样本的一等品中,随机抽取2件产品的所有可能结果为{A
1
,A
2
},{A
1
,A
4
},{A
1
,A
5
},{A
1
,
A
7
},{A
1
,A
9
},{A
2
,A
4
},{A
2
,A
5
},{A
2
,A
7
},{A
2
,A
9
},{A
4
,A
5
},{A
4
,A
7
},{A
4
,A
9
},{A
5
,A
7
},
{A
5
,A
9
},{A
7
,A
9
},共15种.
②在该样本的一等品中,综合指标S等于4的产品编号分别为A
1
,A
2
,A
5
,A
7
,则事件B发生的所有
可能结果为{A
1
,A
2
},{A
1
,A
5
},{A
1
,A
7
},{A
2
,A
5
},{A
2
,A
7
},{A
5
,A
7
},共6种.所以P(B)=
62
105
.
16.(2013天津,文16)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsinA
.
..
=3csinB,a=3,cosB=
2
3
.
(1)求b的值;
(2)求
π
sin2
3
B
的值.
解:(1)在△ABC中,由
sinsin
ab
AB
,可得bsinA=asinB,又由bsinA=3csinB,可得a=3c,
又a=3,故c=1.
由b2=a2+c2-2accosB,
2
cos
3
B,可得6b.
(2)由
2
cos
3
B,得sinB=
5
3
,进而得
cos2B=2cos2B-1=
1
9
,sin2B=2sinBcosB=
45
9
.
所以
π
sin2
3
B
=
ππ453
sin2coscos2sin
3318
BB
.
17.(2013天津,文17)(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,侧棱A
1
A⊥底面ABC,且各棱
长均相等,D,E,F分别为棱AB,BC,A
1
C
1
的中点.
(1)证明EF∥平面A
1
CD;
(2)证明平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
;
(3)求直线BC与平面A
1
CD所成角的正弦值.
(1)证明:如图,在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AC∥A
1
C
1
,且AC=A
1
C
1
,连接ED,在△ABC中,因为
D,E分别为AB,BC的中点,
.
..
所以DE=
1
2
AC且DE∥AC,
又因为F为A
1
C
1
的中点,可得A
1
F=DE,且A
1
F∥DE,即四边形A
1
DEF为平行四边形,
所以EF∥DA
1
.
又EF⊄平面A
1
CD,DA
1
⊂平面A
1
CD,
所以EF∥平面A
1
CD.
(2)证明:由于底面ABC是正三角形,D为AB的中点,故CD⊥AB,
又由于侧棱A
1
A⊥底面ABC,CD⊂平面ABC,
所以A
1
A⊥CD,
又A
1
A∩AB=A,
因此CD⊥平面A
1
ABB
1
,而CD⊂平面A
1
CD,
所以平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
.
(3)解:在平面A
1
ABB
1
内,过点B作BG⊥A
1
D交直线A
1
D于点G,连接CG.
由于平面A
1
CD⊥平面A
1
ABB
1
,而直线A
1
D是平面A
1
CD与平面A
1
ABB
1
的交线,
故BG⊥平面A
1
CD.
由此得∠BCG为直线BC与平面A
1
CD所成的角.
设棱长为a,可得A
1
D=
5
2
a
,
由△A
1
AD∽△BGD,易得BG=
5
2
a
.
在Rt△BGC中,sin∠BCG=
5
5
BG
BC
.
所以直线BC与平面A
1
CD所成角的正弦值为
5
5
.
18.(2013天津,文18)(本小题满分13分)设椭圆
22
22
=1
xy
ab
(a>b>0)的左焦点为F,离心率为
3
3
,过
点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
43
3
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若AC
uuur
·DB
uuur
+AD
uuur
·CB
uuur
=8,求k的值.
解:(1)设F(-c,0),由
3
3
c
a
,知
3ac
.
.
..
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c,代入椭圆方程有
22
22
()
1
cy
ab
,解得
6
3
b
y,
于是
2643
33
b
,解得b=2,
又a2-c2=b2,从而a=
3
,c=1,
所以椭圆的方程为
22
=1
32
xy
.
(2)设点C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),由F(-1,0)得直线CD的方程为y=k(x+1),
由方程组22
1,
1
32
ykx
xy
消去y,整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
求解可得x
1
+x
2
=
2
2
6
23
k
k
,x
1
x
2
=
2
2
36
23
k
k
.
因为A(
3
,0),B(
3
,0),
所以AC
uuur
·DB
uuur
+AD
uuur
·CB
uuur
=(x
1
+3,y
1
)·(3-x
2
,-y
2
)+(x
2
+3,y
2
)·(3-x
1
,-y
1
)
=6-2x
1
x
2
-2y
1
y
2
=6-2x
1
x
2
-2k2(x
1
+1)(x
2
+1)
=6-(2+2k2)x
1
x
2
-2k2(x
1
+x
2
)-2k2
=
2
2
212
6
23
k
k
.
由已知得
2
2
212
6
23
k
k
=8,
解得k=2.
19.(2013天津,文19)(本小题满分14分)已知首项为
3
2
的等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
(n∈N*),且-2S
2
,
S
3,
4S
4
成等差数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)证明
113
6n
n
S
S
(n∈N*).
(1)解:设等比数列{a
n
}的公比为q,因为-2S
2
,S
3,
4S
4
成等差数列,
所以S
3
+2S
2
=4S
4
-S
3
,即S
4
-S
3
=S
2
-S
4
,可得2a
4
=-a
3
,于是4
3
1
2
a
q
a
.
又a
1
=
3
2
,所以等比数列{a
n
}的通项公式为
1
1
313
(1)
222
n
n
n
n
a
.
(2)证明
1
1
2
n
n
S
,
111
1
2
1
1
2
n
n
n
n
S
S
1
1
2
22
1
2.
221
nn
nn
n
n
,为奇数,
,为偶数
当n为奇数时,
1
n
n
S
S
随n的增大而减小,所以
1
1
1113
=
6n
n
SS
SS
.
.
..
当n为偶数时,
1
n
n
S
S
随n的增大而减小,所以
2
2
1125
=
12n
n
SS
SS
.
故对于n∈N*,有
113
6n
n
S
S
.
20.(2013天津,文20)(本小题满分14分)设a∈[-2,0],已知函数
3
32
50
3
0.
2
xaxx
fx
a
xxaxx
,,
=
,
(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;
(2)设曲线y=f(x)在点P
i
(x
i
,f(x
i
))(i=1,2,3)处的切线相互平行,且x
1
x
2
x
3
≠0.证明x
1
+x
2
+x
3
>
1
3
.
证明:(1)设函数f
1
(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f
2
(x)=32
3
2
a
xxax
(x≥0),
①f
1
′(x)=3x2-(a+5),由a∈[-2,0],从而当-1<x<0时,f
1
′(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0,所以函
数f
1
(x)在区间(-1,0]内单调递减.
②f
2
′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a∈[-2,0],所以当0<x<1时,f
2
′(x)<0;当x>1时,
f
2
′(x)>0.即函数f
2
(x)在区间[0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
综合①,②及f
1
(0)=f
2
(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增.
(2)由(1)知f′(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间
3
0
6
a
,内单调递减,在区间
3
6
a
,内单
调递增.
因为曲线y=f(x)在点P
i
(x
i
,f(x
i
))(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x
1
,x
2
,x
3
互不相等,且f′(x
1
)=f′(x
2
)
=f′(x
3
).不妨设x
1
<0<x
2
<x
3
,由2
1
3x-(a+5)=2
2
3x-(a+3)x
2
+a=2
3
3x-(a+3)x
3
+a,
可得22
23
33xx-(a+3)(x
2
-x
3
)=0,解得x
2
+x
3
=
3
3
a
,从而0<x
2
<
3
6
a
<x
3
.
设g(x)=3x2-(a+3)x+a,则
3
6
a
g
<g(x
2
)<g(0)=a.
由2
1
3x-(a+5)=g(x
2
)<a,解得
25
3
a
<x
1
<0,
所以x
1
+x
2
+x
3
>
253
33
aa
,
设t=
25
3
a
,则a=
235
2
t
,
因为a∈[-2,0],所以t∈
315
,
33
,
故x
1
+x
2
+x
3
>
2
2
31111
(1)
6233
t
tt
,即x
1
+x
2
+x
3
>
1
3
.
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