索引
- 原文
- 注释与说明
- 1. principal ideal domain
- 2. prime ideal
- 3. Recall that an ideal p \mathfrak{p} p of a commutative ring A A A is called prime if the quotient ring A / p {A}/{\mathfrak{p}}\; A/p is an integral domain.
- 4. The invertible elements of A A A are those elements that do not belong to m ( A ) \mathfrak{m}\left( A \right) m(A)
- 5. where π \pi π is an irreducible element
- 6. A A A has one and only one irreducible element, up to multiplication by an invertible element
- 7. such an element is called a uniformizing element of A A A
- 8. If x ≠ 0 x\ne 0 x=0 is any element of A A A, one can write x = π n u x={{\pi }^{n}}u x=πnu, with n ∈ N n\in \mathbb{N} n∈N and u u u invertible
- 9. it does not depend on the choice of π \pi π
- 10. The non-zero ideals of A A A are of the form m ( A ) = π n A \mathfrak{m}\left( A \right)={{\pi }^{n}}A m(A)=πnA
原文
A ring A A A is called a discrete valuation ring(离散赋值环) if it is a principal ideal domain 1 ^1 1 (Bourbaki, Alg., Chap. VII) that has a unique non-zero prime ideal 2 ^2 2 m ( A ) \mathfrak{m}\left( A \right) m(A). [Recall that an ideal p \mathfrak{p} p of a commutative ring A A A is called prime if the quotient ring A / p {A}/{\mathfrak{p}}\; A/p is an integral domain. 3 ^3 3]
The field A / m ( A ) {A}/{\mathfrak{m}\left( A \right)}\; A/m(A) is called the residue field of A A A. The invertible elements of A A A are those elements that do not belong to m ( A ) \mathfrak{m}\left( A \right) m(A) 4 ^4 4; they form a multiplicative group and are often called the units of A A A (or the field of fractions of A A A).
In a principal ideal domain, the non-zero prime ideals are the ideals of the form π A \pi A πA, where π \pi π is an irreducible element 5 ^5 5. The definition above comes down to saying that A A A has one and only one irreducible element, up to multiplication by an invertible element 6 ^6 6; such an element is called a uniformizing element of A A A 7 ^7 7 (or uniformizer; Weil [123] calls it a “prime element”).
The non-zero ideals of
A
A
A are of the form
m
(
A
)
=
π
n
A
\mathfrak{m}\left( A \right)={{\pi }^{n}}A
m(A)=πnA
10
^{10}
10, where
π
\pi
π is a uniformizing element. If
x
≠
0
x\ne 0
x=0 is any element of
A
A
A, one can write
x
=
π
n
u
x={{\pi }^{n}}u
x=πnu, with
n
∈
N
n\in \mathbb{N}
n∈N and
u
u
u invertible
8
^8
8; the integer
n
n
n is called the valuation (or the order) of
x
x
x and is denoted
ν
(
x
)
\nu \left( x \right)
ν(x); it does not depend on the choice of
π
\pi
π.
9
^9
9
注释与说明
1. principal ideal domain
principal ideal – 主理想
domain – 整环
主理想定义
(
R
,
+
,
×
)
\left( R,+,\times \right)
(R,+,×)是一个环,设
a
∈
R
a\in R
a∈R,考察
R
R
R中含有元素
a
a
a的全部理想的集合
Σ
=
{
I
⊆
R
is the ideal
∣
a
∈
I
}
,
\Sigma =\left\{ \left. I\subseteq R\text{ is the ideal} \right|a\in I \right\},
Σ={I⊆R is the ideal∣a∈I},
令
[
a
]
=
⋂
I
∈
Σ
I
\left[ a \right]=\underset{I\in \Sigma }{\mathop{\bigcap }}\,I
[a]=I∈Σ⋂I ,则由定理“理想的交还是理想”可知,
[
a
]
\left[ a \right]
[a]也是
R
R
R的一个理想,称为
R
R
R的由
a
a
a生成的主理想。
当
R
R
R是一个含幺交换环时,由
a
a
a生成的主理想
⟨
a
⟩
=
R
a
=
{
r
a
∣
r
∈
R
}
\left\langle a \right\rangle =Ra=\left\{ \left. ra \right|r\in R \right\}
⟨a⟩=Ra={ra∣r∈R}
整环定义
若环
R
≠
{
0
}
R\ne \left\{ 0 \right\}
R={0},且
∀
a
,
b
∈
R
,
a
,
b
≠
0
⇒
a
b
≠
0
\forall a,b\in R,\text{ }a,b\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }ab\ne 0
∀a,b∈R, a,b=0 ⇒ ab=0 或者
a
b
=
0
⇒
a
=
0
or
b
=
0
ab=0\text{ }\Rightarrow \text{ }a=0\text{ }\text{or }b=0
ab=0 ⇒ a=0 or b=0
则称
R
R
R是整环(Integral Ring)。
主理想(整)环定义
若一个(整)环
R
R
R的每个理想
I
I
I都是某
a
∈
R
a\in R
a∈R生成的主理想,则称
R
R
R为主理想(整)环。
根据下文中的涉及讨论环 A A A的可逆元素和不可逆元素,以及原文中
The non-zero ideals of A A A are of the form m ( A ) = π n A \mathfrak{m}\left( A \right)={{\pi }^{n}}A m(A)=πnA
我们认为这一章节所讨论的离散赋值环
A
A
A是一个含幺交换环。
2. prime ideal
prime ideal – 素理想
素理想定义
R
R
R是一个交换环,
P
⊂
R
P\subset R
P⊂R是
R
R
R的真理想,称
P
P
P为素理想,若
a
b
∈
P
⇒
a
∈
P
or
b
∈
P
,
∀
a
,
b
∈
R
ab\in P\text{ }\Rightarrow \text{ }a\in P\text{ or }b\in P,\text{ }\forall a,b\in R
ab∈P ⇒ a∈P or b∈P, ∀a,b∈R
3. Recall that an ideal p \mathfrak{p} p of a commutative ring A A A is called prime if the quotient ring A / p {A}/{\mathfrak{p}}\; A/p is an integral domain.
P
P
P是素理想,当且仅当
R
/
P
R/P
R/P是整环。
证明
-
⇒
\Rightarrow
⇒
令 a , b ∈ R a,b\in R a,b∈R且在 R / P R/P R/P中有 a b ‾ = 0 ‾ \overline{ab}=\overline{0} ab=0 ⇒ a b ∈ P \Rightarrow ab\in P ⇒ab∈P ⇒ a ∈ P \Rightarrow a\in P ⇒a∈P或 b ∈ P b\in P b∈P
⇒ \Rightarrow ⇒在 R / P R/P R/P中,有 a ‾ = 0 ‾ \overline{a}=\overline{0} a=0或 b ‾ = 0 ‾ \overline{b}=\overline{0} b=0。 -
⇐
\Leftarrow
⇐
假设 a b ∈ P ⇒ ab\in P\text{ }\Rightarrow ab∈P ⇒在 R / P R/P R/P中 a b ‾ = 0 ‾ \overline{ab}=\overline{0} ab=0 ⇒ \Rightarrow ⇒ 在 R / P R/P R/P中 a ‾ = 0 ‾ \overline{a}=\overline{0} a=0或 b ‾ = 0 ‾ \overline{b}=\overline{0} b=0 ⇒ a ∈ P \Rightarrow \text{ }a\in P ⇒ a∈P或 b ∈ P b\in P b∈P。
4. The invertible elements of A A A are those elements that do not belong to m ( A ) \mathfrak{m}\left( A \right) m(A)
意思是主理想整环
A
A
A中可逆的元素是不属于
m
(
A
)
\mathfrak{m}\left( A \right)
m(A)的那些元素。更系统地讲,
A
A
A中所有的可逆元素
a
∉
m
(
A
)
a\notin \mathfrak{m}\left( A \right)
a∈/m(A),
A
A
A中所有的不可逆元素
b
∈
m
(
A
)
b\in \mathfrak{m}\left( A \right)
b∈m(A)。
A
A
A中所有的可逆元素
a
∉
m
(
A
)
a\notin \mathfrak{m}\left( A \right)
a∈/m(A)
证明
首先,
A
A
A是一个含幺交换环,
1
∈
A
1\in A
1∈A且
1
1
1为可逆元素,因此
A
A
A中的可逆元素集非空。
理想
m
(
A
)
\mathfrak{m}\left( A \right)
m(A)是
A
A
A的子环,因此非空。
∀
a
∈
m
(
A
)
\forall a\in \mathfrak{m}\left( A \right)
∀a∈m(A),若
∃
a
−
1
∈
A
\exists {{a}^{-1}}\in A
∃a−1∈A使得
a
a
−
1
=
1
a{{a}^{-1}}=1
aa−1=1,则有推理
m
(
A
)
×
A
⊆
m
(
A
)
a
∈
m
(
A
)
,
a
−
1
∈
A
,
a
a
−
1
=
1
}
⇒
1
∈
m
(
A
)
1
∈
m
(
A
)
1
×
A
=
A
m
(
A
)
×
A
⊆
m
(
A
)
}
⇒
A
⊆
m
(
A
)
\begin{aligned} & \left. \begin{aligned} & \mathfrak{m}\left( A \right)\times A\subseteq \mathfrak{m}\left( A \right) \\ & a\in \mathfrak{m}\left( A \right),\text{ }{{a}^{-1}}\in A,\text{ }a{{a}^{-1}}=1 \\ \end{aligned} \right\}\text{ }\Rightarrow \text{ }1\in \mathfrak{m}\left( A \right) \\ & \\ & \left. \begin{aligned} & 1\in \mathfrak{m}\left( A \right) \\ & 1\times A=A \\ & \mathfrak{m}\left( A \right)\times A\subseteq \mathfrak{m}\left( A \right) \\ \end{aligned} \right\}\text{ }\Rightarrow \text{ }A\subseteq \mathfrak{m}\left( A \right) \\ \end{aligned}
m(A)×A⊆m(A)a∈m(A), a−1∈A, aa−1=1} ⇒ 1∈m(A)1∈m(A)1×A=Am(A)×A⊆m(A)⎭⎪⎬⎪⎫ ⇒ A⊆m(A)
又子环
m
(
A
)
⊆
A
\mathfrak{m}\left( A \right)\subseteq A
m(A)⊆A,因此有
m
(
A
)
=
A
\mathfrak{m}\left( A \right)=A
m(A)=A,但这与
m
(
A
)
\mathfrak{m}\left( A \right)
m(A)是
A
A
A的素理想(也是真理想,
m
(
A
)
⊂
A
\mathfrak{m}\left( A \right)\subset A
m(A)⊂A)矛盾。因此
∀
a
∈
m
(
A
)
\forall a\in \mathfrak{m}\left( A \right)
∀a∈m(A),
a
a
a不可逆,即所有可逆元素都不属于
m
(
A
)
\mathfrak{m}\left( A \right)
m(A)。
A A A中所有的不可逆元素 b ∈ m ( A ) b\in \mathfrak{m}\left( A \right) b∈m(A)
引理1 (Krull定理):含幺环必有极大理想。
引理2 (Zorn引理)(等价于选择公理):若一个偏序集的任何一个全序子集都有上界,则这个偏序集中存在极大元。
注释4的证明法一
环
A
A
A是含幺环,因此由Krull定理,环
A
A
A必有极大理想
P
P
P。
环 A A A是含幺交换环,因此 A / P {A}/{P}\; A/P是一个域, A / P {A}/{P}\; A/P是一个整环, P P P是一个素理想。
又环 A A A只有唯一一个素理想 m ( A ) \mathfrak{m}\left( A \right) m(A),因此 P = m ( A ) P=\mathfrak{m}\left( A \right) P=m(A)是唯一一个极大理想。
注意到含幺交换环 A A A是一个主理想环,其理想都是主理想,具有形式 π A , π ∈ A \pi A,\text{ }\pi \in A πA, π∈A是生成主理想的元素。因此 ∃ b ∈ A \exists b\in A ∃b∈A使得 m ( A ) = b A \mathfrak{m}\left( A \right)=bA m(A)=bA。
基于此,假设存在不可逆元
b
1
∉
m
(
A
)
{{b}_{1}}\notin \mathfrak{m}\left( A \right)
b1∈/m(A),考虑由
b
1
{{b}_{1}}
b1生成的主理想
⟨
b
1
⟩
=
b
1
A
⊆
m
(
A
)
\left\langle {{b}_{1}} \right\rangle ={{b}_{1}}A\cancel{\subseteq }\mathfrak{m}\left( A \right)
⟨b1⟩=b1A⊆
b
2
{{b}_{2}}
b2仍然是一个不可逆元且
b
2
∉
m
(
A
)
{{b}_{2}}\notin \mathfrak{m}\left( A \right)
b2∈/m(A)。事实上,若
b
2
{{b}_{2}}
b2是可逆元,则由于
b
2
−
1
∈
A
{{b}_{2}}^{-1}\in A
b2−1∈A,由
I
A
⊆
I
IA\subseteq I
IA⊆I有
1
∈
I
1\in I
1∈I,于是容易推得
I
=
A
I=A
I=A,此时
I
I
I非真理想。若
b
2
∈
m
(
A
)
{{b}_{2}}\in \mathfrak{m}\left( A \right)
b2∈m(A),则
∃
c
∈
A
\exists c\in A
∃c∈A使得
b
2
=
b
c
{{b}_{2}}=bc
b2=bc,因此有
b
1
A
⊂
b
2
A
=
(
b
c
)
A
=
b
(
c
A
)
⊆
b
A
{{b}_{1}}A\subset {{b}_{2}}A=\left( bc \right)A=b\left( cA \right)\subseteq bA
b1A⊂b2A=(bc)A=b(cA)⊆bA
与前面的
b
1
A
⊆
m
(
A
)
{{b}_{1}}A\cancel{\subseteq }\mathfrak{m}\left( A \right)
b1A⊆
类似地,存在不可逆元
b
3
,
b
4
,
⋯
∉
m
(
A
)
{{b}_{3}},{{b}_{4}},\cdots \notin \mathfrak{m}\left( A \right)
b3,b4,⋯∈/m(A)导出以下各真理想的真包含关系
b
1
A
⊂
b
2
A
⊂
b
3
A
⊂
b
4
A
⊂
⋯
{{b}_{1}}A\subset {{b}_{2}}A\subset {{b}_{3}}A\subset {{b}_{4}}A\subset \cdots
b1A⊂b2A⊂b3A⊂b4A⊂⋯
记以上的理想的集合为
B
A
=
{
b
1
A
,
b
2
A
,
⋯
}
{{B}_{A}}=\left\{ {{b}_{1}}A,\text{ }{{b}_{2}}A,\cdots \right\}
BA={b1A, b2A,⋯},定义
B
A
{{B}_{A}}
BA上的偏序关系
≺
\prec
≺为包含关系
⊆
\subseteq
⊆(不能为真包含
⊂
\subset
⊂,因为不满足自反性),则
⟨
B
A
,
≺
⟩
\left\langle {{B}_{A}},\prec \right\rangle
⟨BA,≺⟩构成一个偏序集。
任取该偏序集的一个全序子集 ⟨ B A ′ ( ⊆ B A ) , ≺ ⟩ \left\langle {{B}_{A}}'\left( \subseteq {{B}_{A}} \right),\prec \right\rangle ⟨BA′(⊆BA),≺⟩, ∀ b i A ∈ B A ′ \forall {{b}_{i}}A\in {{B}_{A}}' ∀biA∈BA′, b i A ⊂ A {{b}_{i}}A\subset A biA⊂A(当然也就有 b i A ⊆ A {{b}_{i}}A\subseteq A biA⊆A,即 b i A ≺ A {{b}_{i}}A\prec A biA≺A),即任何一个全序子集都有上界,因此该偏序集中存在极大元 b m A ∈ B A {{b}_{m}}A\in {{B}_{A}} bmA∈BA。
此时也揭示了
B
A
{{B}_{A}}
BA是一个有限集,真包含关系链的长度是有限的:
b
1
A
⊂
b
2
A
⊂
⋯
⊂
b
m
A
{{b}_{1}}A\subset {{b}_{2}}A\subset \cdots \subset {{b}_{m}}A
b1A⊂b2A⊂⋯⊂bmA
且此时
∀
b
′
∈
A
\
{
b
m
}
\forall b'\in A\backslash \left\{ {{b}_{m}} \right\}
∀b′∈A\{bm},不论
b
′
b'
b′是否可逆,是否属于
m
(
A
)
\mathfrak{m}\left( A \right)
m(A),都不满足
b
m
A
⊂
b
′
A
⊂
A
{{b}_{m}}A\subset b'A\subset A
bmA⊂b′A⊂A
即不存在其他真理想真包含
b
m
A
{{b}_{m}}A
bmA,因此该极大元
b
m
A
{{b}_{m}}A
bmA也是
A
A
A的一个极大理想且显然地有
b
m
∉
m
(
A
)
,
b
m
A
≠
b
A
=
m
(
A
)
{{b}_{m}}\notin \mathfrak{m}\left( A \right),\text{ }{{b}_{m}}A\ne bA=\mathfrak{m}\left( A \right)
bm∈/m(A), bmA=bA=m(A)
即找出了另一个不同的极大理想,矛盾。因此任何的不可逆元
b
1
∈
m
(
A
)
{{b}_{1}}\in \mathfrak{m}\left( A \right)
b1∈m(A)。
引理3:
A
A
A是一个含幺交换环,则任取
A
A
A中的一个不可逆元
a
a
a,总是存在一个极大理想
M
M
M使得
a
∈
M
a\in M
a∈M。
证明
令
X
X
X为
A
A
A中所有包含
a
a
a的真理想的集合。由于
A
A
A是含幺交换环,
a
a
a是不可逆元,有
⟨
a
⟩
=
a
A
⊂
A
\left\langle a \right\rangle =aA\subset A
⟨a⟩=aA⊂A(
a
A
aA
aA里均为不可逆元素,
A
A
A至少有可逆元1),因此
X
≠
∅
X\ne \varnothing
X=∅,且
⟨
X
,
⊆
⟩
\left\langle X,\subseteq \right\rangle
⟨X,⊆⟩为偏序集,由Zorn引理有
X
X
X中存在极大元
M
∈
X
M\in X
M∈X。
接下来证明极大元
M
M
M就是极大理想。事实上,若存在真理想
J
⊃
M
J\supset M
J⊃M,由
a
∈
M
a\in M
a∈M有
a
∈
J
a\in J
a∈J,因此有
J
∈
X
J\in X
J∈X,此时
M
M
M肯定不是
X
X
X的极大元,矛盾。因此极大元
M
M
M就是极大理想,且有
a
∈
M
a\in M
a∈M。
注释4的证明法二
环
A
A
A是含幺环,因此由Krull定理,环
A
A
A必有极大理想
P
P
P。
环 A A A是含幺交换环,因此 A / P {A}/{P}\; A/P是一个域, A / P {A}/{P}\; A/P是一个整环, P P P是一个素理想。
又环 A A A只有唯一一个素理想 m ( A ) \mathfrak{m}\left( A \right) m(A),因此 P = m ( A ) P=\mathfrak{m}\left( A \right) P=m(A)是唯一一个极大理想。
任取
A
A
A中的不可逆元
b
b
b,由引理3,总是存在一个极大理想
M
M
M使得
a
∈
M
a\in M
a∈M。因此只能是
b
∈
m
(
A
)
b\in \mathfrak{m}\left( A \right)
b∈m(A)。证毕。
5. where π \pi π is an irreducible element
π
\pi
π是一个不可约元素的说明
首先含幺交换环
A
A
A是一个主理想环,所有的理想都具有形式
π
A
\pi A
πA,
π
∈
A
\pi \in A
π∈A。
对于环
A
A
A的任一个素理想
P
P
P,当然也存在一个
π
∈
A
\pi \in A
π∈A使得
P
=
π
A
P=\pi A
P=πA。
π \pi π一定不是一个可逆元。事实上,若 π \pi π是可逆元,则由于 π − 1 ∈ A {{\pi }^{-1}}\in A π−1∈A和 P A ⊆ P PA\subseteq P PA⊆P有 1 ∈ P 1\in P 1∈P,从而有 P = A P=A P=A,此时 P P P不是一个真理想,也就不是一个素理想了。因此 π \pi π是一个不可逆元。
不可逆元
π
\pi
π一定是一个不可约元素。否则,存在两个不可逆元
π
1
,
π
2
{{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}}
π1,π2使得
π
=
π
1
π
2
\pi ={{\pi }_{1}}{{\pi }_{2}}
π=π1π2。
由于
π
1
A
,
π
2
A
{{\pi }_{1}}A,{{\pi }_{2}}A
π1A,π2A里均为不可逆元,
A
A
A中至少有一可逆元1,因此有
π
1
A
,
π
2
A
⊂
A
{{\pi }_{1}}A,\text{ }{{\pi }_{2}}A\subset A
π1A, π2A⊂A,即
∃
b
1
,
b
2
∈
A
\exists {{b}_{1}},{{b}_{2}}\in A
∃b1,b2∈A,但
b
1
∉
π
1
A
,
b
2
∉
π
2
A
{{b}_{1}}\notin {{\pi }_{1}}A,\text{ }{{b}_{2}}\notin {{\pi }_{2}}A
b1∈/π1A, b2∈/π2A。
又由于
A
A
A是整环,
∀
a
≠
0
,
∃
b
1
≠
b
2
,
a
b
1
=
a
b
2
\forall a\ne 0,\text{ }\cancel{\exists }{{b}_{1}}\ne {{b}_{2}},\text{ }a{{b}_{1}}=a{{b}_{2}}
∀a=0, ∃
P
=
π
A
=
π
1
π
2
A
=
{
π
1
(
π
2
A
)
⊂
π
1
A
π
2
(
π
1
)
A
⊂
π
2
A
P=\pi A={{\pi }_{1}}{{\pi }_{2}}A=\left\{ \begin{aligned} & {{\pi }_{1}}\left( {{\pi }_{2}}A \right)\subset {{\pi }_{1}}A \\ & {{\pi }_{2}}\left( {{\pi }_{1}} \right)A\subset {{\pi }_{2}}A \\ \end{aligned} \right.
P=πA=π1π2A={π1(π2A)⊂π1Aπ2(π1)A⊂π2A
即
∃
a
1
,
a
2
∈
A
,
s.t.
\exists {{a}_{1}},{{a}_{2}}\in A,\text{ s}\text{.t}\text{.}
∃a1,a2∈A, s.t.
π
1
a
1
,
π
2
a
2
∉
π
A
{{\pi }_{1}}{{a}_{1}},\text{ }{{\pi }_{2}}{{a}_{2}}\notin \pi A
π1a1, π2a2∈/πA。
但此时
π
1
a
1
×
π
2
a
2
=
(
π
1
π
2
)
(
a
1
a
2
)
=
π
(
a
1
a
2
)
∈
π
A
{{\pi }_{1}}{{a}_{1}}\times {{\pi }_{2}}{{a}_{2}}=\left( {{\pi }_{1}}{{\pi }_{2}} \right)\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}} \right)=\pi \left( {{a}_{1}}{{a}_{2}} \right)\in \pi A
π1a1×π2a2=(π1π2)(a1a2)=π(a1a2)∈πA,不符合素理想的定义,因此
π
\pi
π不能分解为两个不可逆因子的乘积,即
π
\pi
π是一个不可约元素。
6. A A A has one and only one irreducible element, up to multiplication by an invertible element
意思就是在相伴意义下,将
A
A
A的唯一素理想
P
P
P表示成
P
=
π
A
P=\pi A
P=πA,其中
π
\pi
π是一个不可约元素,这样的写法是唯一的。即
①任取一个可逆元
a
∈
A
a\in A
a∈A,有
P
=
π
A
=
(
π
a
)
A
P=\pi A=\left( \pi a \right)A
P=πA=(πa)A
②任取一个不可约元素
π
′
∈
A
\pi '\in A
π′∈A,一定有
π
′
\pi '
π′与
π
\pi
π相伴,且有
π
′
A
=
π
A
\pi 'A=\pi A
π′A=πA。
③我们指出
π
a
\pi a
πa也是一个不可约元素。
①首先,
a
a
a是一个可逆元,容易推得
a
A
=
A
aA=A
aA=A,因此有
(
π
a
)
A
=
π
(
a
A
)
=
π
A
=
P
\left( \pi a \right)A=\pi \left( aA \right)=\pi A=P
(πa)A=π(aA)=πA=P
②其次,
π
′
\pi '
π′是一个不可约元素,也是一个不可逆元素,而
A
A
A中所有的不可逆元素都属于
P
=
π
A
P=\pi A
P=πA,当然也有
π
′
∈
π
A
\pi '\in \pi A
π′∈πA,因此存在
a
∈
A
a\in A
a∈A使得
π
′
=
π
a
\pi '=\pi a
π′=πa。
由于
π
′
\pi '
π′是不可约元素,
π
\pi
π是不可约元素当然也是不可逆元素,因此
a
a
a只能是可逆元,因此
π
′
\pi '
π′与
π
\pi
π相伴,且有
a
A
=
A
⇒
π
′
A
=
(
π
a
)
A
=
π
(
a
A
)
=
π
A
=
P
aA=A\text{ }\Rightarrow \text{ }\pi 'A=\left( \pi a \right)A=\pi \left( aA \right)=\pi A=P
aA=A ⇒ π′A=(πa)A=π(aA)=πA=P
③最后,若
π
a
\pi a
πa不是一个不可约元素,则存在两个不可逆因子
π
1
,
π
2
∈
A
{{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}}\in A
π1,π2∈A使得
π
a
=
π
1
π
2
⇒
π
=
π
1
(
π
2
a
−
1
)
\pi a={{\pi }_{1}}{{\pi }_{2}}\text{ }\Rightarrow \text{ }\pi ={{\pi }_{1}}\left( {{\pi }_{2}}{{a}^{-1}} \right)
πa=π1π2 ⇒ π=π1(π2a−1)
由于
a
−
1
{{a}^{-1}}
a−1可逆但
π
2
{{\pi }_{2}}
π2不可逆,因此
π
2
a
−
1
{{\pi }_{2}}{{a}^{-1}}
π2a−1不可逆,此时
π
\pi
π可以分解为两个不可逆因子的乘积,蕴含
π
\pi
π不是不可约元素,矛盾。因此
π
a
\pi a
πa也是一个不可约元素。
7. such an element is called a uniformizing element of A A A
π
\pi
π和
π
a
\pi a
πa(
∀
a
\forall a
∀a是
A
A
A中的可逆元)均被称为均匀化元素。
8. If x ≠ 0 x\ne 0 x=0 is any element of A A A, one can write x = π n u x={{\pi }^{n}}u x=πnu, with n ∈ N n\in \mathbb{N} n∈N and u u u invertible
Part1:存在性证明
首先,均匀化元素
π
\pi
π是一个不可约元素,不为0(由不可约元素定义)。
u
u
u是一个可逆元素,也不为0 (0是不可逆元素)。由于
A
A
A是整环,因此有推理
π
n
≠
0
,
u
≠
0
⇒
π
n
u
≠
0
{{\pi }^{n}}\ne 0,\text{ }u\ne 0\text{ }\Rightarrow \text{ }{{\pi }^{n}}u\ne 0
πn=0, u=0 ⇒ πnu=0
因此排除讨论
x
=
0
x=0
x=0的情况。
①当 x ∈ A x\in A x∈A是可逆元素时,令 n = 0 , u = x n=0,\text{ }u=x n=0, u=x,即有 x = π n u = π 0 u = u x={{\pi }^{n}}u={{\pi }^{0}}u=u x=πnu=π0u=u。
②当
x
∈
A
x\in A
x∈A是不可逆元素中的不可约元素时,一定存在可逆元素
u
u
u使得
x
=
π
u
x=\pi u
x=πu。此时
n
=
1
n=1
n=1。
记离散赋值环
A
A
A的唯一素理想为
m
(
A
)
=
π
A
\mathfrak{m}\left( A \right)=\pi A
m(A)=πA。事实上,
x
∈
A
x\in A
x∈A是不可约元素,是不可逆元素,因此有
x
∈
m
(
A
)
=
π
A
x\in \mathfrak{m}\left( A \right)=\pi A
x∈m(A)=πA,即
∃
u
∈
A
\exists u\in A
∃u∈A使得
x
=
π
u
x=\pi u
x=πu。
且由于
x
x
x是不可约元素,
π
\pi
π是不可逆元素,因此
u
u
u只能是可逆元素。结论得证。
③当
x
∈
A
x\in A
x∈A是不可逆元素中的可约元素时,一定存在
1
<
n
<
∞
1< n<\infty
1<n<∞和一个可逆元素
u
u
u使得
x
=
π
n
u
x={{\pi }^{n}}u
x=πnu。
事实上,
x
x
x是可约元素,因此存在不可逆元素
π
1
,
π
2
{{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}}
π1,π2使得
x
=
π
1
π
2
x={{\pi }_{1}}{{\pi }_{2}}
x=π1π2。
不可逆元素
π
1
,
π
2
∈
π
A
{{\pi }_{1}},{{\pi }_{2}}\in \pi A
π1,π2∈πA,因此存在
a
1
,
a
2
∈
A
{{a}_{1}},{{a}_{2}}\in A
a1,a2∈A使得
π
1
=
π
a
1
,
π
2
=
π
a
2
{{\pi }_{1}}=\pi {{a}_{1}},\text{ }{{\pi }_{2}}=\pi {{a}_{2}}
π1=πa1, π2=πa2。
因此有
x
=
(
π
a
1
)
(
π
a
2
)
=
π
(
π
a
1
a
2
)
=
π
a
x=\left( \pi {{a}_{1}} \right)\left( \pi {{a}_{2}} \right)=\pi \left( \pi {{a}_{1}}{{a}_{2}} \right)=\pi a
x=(πa1)(πa2)=π(πa1a2)=πa,其中
a
=
π
a
1
a
2
a=\pi {{a}_{1}}{{a}_{2}}
a=πa1a2是一个不可逆元。
a
a
a是不可逆元,则有
a
∈
π
A
a\in \pi A
a∈πA,于是
∃
a
1
∈
A
\exists {{a}_{1}}\in A
∃a1∈A使得
a
=
π
a
1
a=\pi {{a}_{1}}
a=πa1。此时就有
x
=
π
a
=
π
(
π
a
1
)
=
π
2
a
1
x=\pi a=\pi \left( \pi {{a}_{1}} \right)={{\pi }^{2}}{{a}_{1}}
x=πa=π(πa1)=π2a1。若
a
1
{{a}_{1}}
a1仍为不可逆元,则可以继续构造出
x
=
π
3
a
2
x={{\pi }^{3}}{{a}_{2}}
x=π3a2。将这个构造过程中出现的
x
,
a
1
,
a
2
,
⋯
x,{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots
x,a1,a2,⋯归为一个集合
S
=
{
x
,
a
1
,
a
2
,
⋯
}
S=\left\{ x,{{a}_{1}},{{a}_{2}},\cdots \right\}
S={x,a1,a2,⋯},定义偏序关系
p
≺
q
p\prec q
p≺q为
p
p
p被
q
q
q整除(
q
q
q是
p
p
p的因子)。则
⟨
S
,
≺
⟩
\left\langle S,\prec \right\rangle
⟨S,≺⟩是一个偏序集。
其任何一个子集为全序子集且都有上界
1
1
1(
1
1
1是
A
A
A中所有元素的因子),由Zorn引理,偏序集
⟨
S
,
≺
⟩
\left\langle S,\prec \right\rangle
⟨S,≺⟩存在极大元
u
=
a
n
u={{a}_{n}}
u=an。
且这个
u
u
u是一个可逆元素。事实上,若
u
u
u不可逆,则
u
∈
π
A
u\in \pi A
u∈πA,
∃
d
∈
A
\exists d\in A
∃d∈A,
u
=
π
d
u=\pi d
u=πd,有
u
≺
d
u\prec d
u≺d,与
u
u
u是极大元矛盾。
此时即有
x
=
π
n
u
x={{\pi }^{n}}u
x=πnu,
n
>
1
n>1
n>1。
Part2: 唯一性证明
此外,我们指出,对某个确定的
π
\pi
π,
∀
x
≠
0
\forall x\ne 0
∀x=0,满足
x
=
π
n
u
x={{\pi }^{n}}u
x=πnu的
(
n
,
u
)
\left( n,u \right)
(n,u)对是唯一的。
事实上,若 x x x是可逆元,则一定有 n = 0 n=0 n=0,否则 π n ≠ 1 {{\pi }^{n}}\ne 1 πn=1是一个不可逆元, x = π n u x={{\pi }^{n}}u x=πnu也是个不可逆元。基于此, u u u显然也是唯一的。因此 ( n , u ) \left( n,u \right) (n,u)对是唯一的。
若
x
x
x是不可逆元,假设存在不可逆元
u
1
,
u
2
{{u}_{1}},{{u}_{2}}
u1,u2与两个正整数
n
1
,
n
2
∈
Z
≥
1
{{n}_{1}},{{n}_{2}}\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}
n1,n2∈Z≥1,满足
x
=
π
n
1
u
1
=
π
n
2
u
2
x={{\pi }^{{{n}_{1}}}}{{u}_{1}}={{\pi }^{{{n}_{2}}}}{{u}_{2}}
x=πn1u1=πn2u2
若
n
1
=
n
2
{{n}_{1}}={{n}_{2}}
n1=n2,则由环
A
A
A是整环推出
u
1
=
u
2
{{u}_{1}}={{u}_{2}}
u1=u2。
若
n
1
≠
n
2
{{n}_{1}}\ne {{n}_{2}}
n1=n2,不妨令
n
1
>
n
2
{{n}_{1}}>{{n}_{2}}
n1>n2,则有
d
=
n
1
−
n
2
>
0
d={{n}_{1}}-{{n}_{2}}>0
d=n1−n2>0,此时有
π
n
2
+
d
u
1
=
π
n
2
u
2
(
环
A
是
整
环
)
⇒
π
d
u
1
=
u
2
{{\pi }^{{{n}_{2}}+d}}{{u}_{1}}={{\pi }^{{{n}_{2}}}}{{u}_{2}}\text{ }\left( 环A是整环 \right)\Rightarrow \text{ }{{\pi }^{d}}{{u}_{1}}={{u}_{2}}
πn2+du1=πn2u2 (环A是整环)⇒ πdu1=u2
由于
π
d
≠
1
{{\pi }^{d}}\ne 1
πd=1是不可逆元,所以
u
2
{{u}_{2}}
u2是不可逆元,矛盾。
因此
x
x
x是不可逆元的情况也有
(
n
,
u
)
\left( n,u \right)
(n,u)对是唯一的。
9. it does not depend on the choice of π \pi π
设离散赋值环 A A A的唯一素理想为 m ( A ) = π A \mathfrak{m}\left( A \right)=\pi A m(A)=πA。
∀ x ≠ 0 \forall x\ne 0 ∀x=0,若 x x x是可逆元,则 x = π 0 x x={{\pi }^{0}}x x=π0x,显然结论成立。
若
x
x
x是不可逆元,则
∃
n
∈
Z
≥
1
\exists n\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 1}}
∃n∈Z≥1和可逆元
u
∈
A
u\in A
u∈A使得
x
=
π
n
u
x={{\pi }^{n}}u
x=πnu。
任取
A
A
A中的一个不可约元素
π
′
\pi '
π′,它也是一个不可逆元素,因此有
π
′
∈
π
A
\pi '\in \pi A
π′∈πA,即
∃
a
∈
A
\exists a\in A
∃a∈A,使得
π
′
=
π
a
\pi '=\pi a
π′=πa。
由于
π
′
\pi '
π′是不可约元素,
π
\pi
π是不可逆元素,因此一定有
a
a
a是可逆元素。此时有
π
=
π
′
a
−
1
⇒
x
=
π
n
u
=
(
π
′
a
−
1
)
n
u
=
(
π
′
)
n
[
(
a
−
1
)
n
u
]
\pi =\pi '{{a}^{-1}}\text{ }\Rightarrow \text{ }x={{\pi }^{n}}u={{\left( \pi '{{a}^{-1}} \right)}^{n}}u={{\left( \pi ' \right)}^{n}}\left[ {{\left( {{a}^{-1}} \right)}^{n}}u \right]
π=π′a−1 ⇒ x=πnu=(π′a−1)nu=(π′)n[(a−1)nu]
其中
(
a
−
1
)
n
u
{{\left( {{a}^{-1}} \right)}^{n}}u
(a−1)nu是可逆元素(其逆元为
u
−
1
a
n
{{u}^{-1}}{{a}^{n}}
u−1an)。结论成立。
10. The non-zero ideals of A A A are of the form m ( A ) = π n A \mathfrak{m}\left( A \right)={{\pi }^{n}}A m(A)=πnA
由于含幺交换环
A
A
A是主理想环,每个非零理想都是由一个元素
b
≠
0
b\ne 0
b=0生成的主理想
b
A
bA
bA。而根据注释8,离散赋值环
A
A
A中的每一个非零元
b
b
b都可以写成
b
=
π
n
u
b={{\pi }^{n}}u
b=πnu,其中
n
∈
Z
≥
0
n\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 0}}
n∈Z≥0,
u
u
u是一个可逆元。因此对
A
A
A中每一个非零理想
b
A
bA
bA有
b
A
=
(
π
n
u
)
A
=
π
n
(
u
A
)
=
π
n
A
≠
{
0
}
,
n
∈
Z
≥
0
,
∀
b
≠
0
bA=\left( {{\pi }^{n}}u \right)A={{\pi }^{n}}\left( uA \right)={{\pi }^{n}}A\ne \left\{ 0 \right\},\text{ }n\in {{\mathbb{Z}}_{\ge 0}},\text{ }\forall b\ne 0
bA=(πnu)A=πn(uA)=πnA={0}, n∈Z≥0, ∀b=0
且类似于注释9的说明过程,对一个确定的
b
≠
0
b\ne 0
b=0,
n
n
n不随不可约元素
π
\pi
π选取的变化而变化。
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