maple教程

怎么取消焦点-硬件加速器

2023年4月6日发(作者：安装app播放器)

符号计算系统maple教程

第1章maple简介

*.mw格式的maple文档可以将文本数字、数学公式、声音、图像等内容组合在

一起，生成具有多媒体效果的专业科技文档。

Maple可以打开maple12进入文件模式窗口；打开classworksheetsmaple12，

打开传统的工作模式窗口；打开command-linemaple12，进入命令行模式窗口。

在command-linemaple12窗口中，按enter键执行表达式计算，若命令很长，

在输入过程中按shift+enter键将命令分成若干行，在classworksheetsmaple12

模式下，表达式必须以冒号”：”或分号”；”结尾,在maple12模式下则不需要如

此。

#及其所在行后面的部分为注释说明语句。

在maple12模式下进行一下操作：maple的优点是可以直接修改编辑好的公式等

因式分解：>

，而且可以直接在出现结

果后继续在factor公式中进行修改。

多项式展开>

公约数：>

公倍数：>

计算

111



：>

计算和式3



：>

求解线性方程组：





：>

计算

4sin()

dxx









：>

计算

x

：>

计算22()bd

xydxdy：>

计算矩阵

123

213

123











的特征值和特征向量。

计算上面A矩阵的1-范数：

画出f(x)=x2sin(x)-1在区间[-7,7]上的图像：

画长幅内次摆线：

3cos24cos3

{,[0,2]

3sin24sin3

xtt

ytt









画出22()(,)xyfxyxye在[2,2],[2,2]xy上的图像。

获取帮助：

文件模式下：maple12：按F1会出现快速帮助菜单。

在command-linemaple中，获得帮助的途径是？命令或是help命令。此命令

也适用于maple12和classicworksheetsmaple12中。

？sin或help(sin)

库函数和函数包：主库中的常用的数学函数会自动加载。函数包中的

函数不会被自动加载，需要用with命令或use语句来调用。

Maple中的函数包：，，，

注意字母的大小写。

With命令：with(函数包)：调用函数包中所有函数；with(函数包[子函数包])：

调用子函数中的所有函数；with(函数包，函数)：调用函数包中的特定函数；

with(函数包[子函数包],函数)：调用子函数包中的特定函数。画图函数包

plottools，显示函数包plots。

Use语句：模块：函数名。

例如：演示单变量微积分中值定理：

在classicworksheetsmaple12中输入

Student:-Calculus1:-MeanValueTheorem(x^2-x,x=0..2,output=pl

ot);

直接引用函数包：函数包[函数]参数；函数包[子函数包][函数]参数。

例如：产生二阶随机整数矩阵：

部分常用函数包：

第1章maple基本量

数与数的表示：integer：整数；faction：有理数；float：实数；complex：复数；

string：字符串。整数还可以分为负整数(negint)、正整数(posint)、非负整数

(nonnegint)、非负整数(nonposint)、偶数(even)和奇数(odd)。

length(%)：给出上一次输出的位数，%表示上一次输出。



查看本系统整数的最大位数

>

#查看12347是否是素数

，octal为八进制，hex为十六进制，fraction表示转化成分数

用函数evalf或value将整数或有理数转化为实数。

实数的输入：小数形式,例如：.5，指数形式：如0.12345e5表示12345

复数中大写字母I表示虚部。

数学常数：constants命令会显示出常数，ScientificConstants命令会给出物理、

化学常数，

变量：

Maple的变量名由标识符表示，标识符以字母开头，后跟字母、数字或下划线，

变量名的字符长度不限，变量名中的字母大小写意义不同，也可以从希腊字母

表中输入希腊字母作为变量名。不能用maple中的函数名或保留字作变量名。

给变量赋值：运算符：=起赋值作用，一般形式：变量名：=表达式；如果赋值

语句以冒号结尾，则不显示计算结果，如果以分号（工作表模式）或空白（文

件模式）则显示计算结果。

清除已赋值的变量：unassign(‘变量名’),注意不要忘记单引号

对多个变量同时赋值：可将变量序列和表达式序列依次对应在赋值号两边，或

在一行中放多个赋值语句，用分号或冒号相隔。变量1，…变量k：=表达式1，…

表达式k

查看变量是否赋值：assigned(变量名)。

变量数值交换

给变量赋值为矩阵，注意矩阵的格式。

一个表达式可以占一行或多行，按shift+enter实现续行。

变量替换：subs(变量1=变量2，表达式)；subs(等式1，…，等式k，表达式)

函数：注意复数中I表示，要用大写的I。

自定义函数：箭头运算符“->”是定义函数的专用运算符，函数名：=变量名(或

变量序列)->表达式。

函数调用：将函数中的形式参数换成实在参数，函数允许嵌套调用f(f(2))，map

语句也起着函数调用的作用。

表达式序列：表达式序列是一个数据类型，序列的元素用逗号操作符连接，可

直接将序列赋值到一个变量中，逗号操作符是所有操作符中级别最低的。用seq

函数构造数值或函数序列：用中括号[]访问序列的元素。序列的下标从1开始。

$也是构造序列的运算符，expr$n表示生成n个expr的表达式。

，

whattype函数可以给出变量的类型。

add对序列求和，mul对序列求积。

列表：列表是用方括号括起来的表达式序列，序列与列表的区别在于有没有方

括号，列表的元素以逗号相隔，元素的位置是有序号的，不同序列元素的值可

以相同，列表的元素还可以为列表.[表达式1,表达式2,…表达式n]。要访问列表

用op命令或“[]“操作符。

L[3,2,1]：表示取列表L的第3个元素的第2个元素的第1个元素

L[-1],L[-2]表示取列表L的倒数第1、第2个元素

集合：集合的元素互不相同，集合中的每个元素是唯一的，元素之间用逗号分

开，用花括号{}括起来，集合的元素按某种次序排列，通过下标访问指定位置的

元素。注意：元素的位置会随着操作而改变，集合定义形式{元素1,元素2,……,

元素n}。

向量和矩阵：对于位数较小并且具有值的向量和矩阵可以直接用尖括号<|>和<,>

分别构造行向量和列向量。

1.5表达式

算术运算符和表达式：%表示上一个计算结果；%%表示倒数第二个计算结

果；%%%表示倒数第三个计算结果

逻辑表达式和运算符：用一个关系表达式只能表示一个判定条件，如要表示几

个判定条件的组合必须用逻辑运算符将关系表达式组在一起。！表示逻辑非；&&

表示逻辑与；||表示逻辑或。

有关表达式计算函数：

计算函数eval和value：

判断表达式类型函数：

第2章初等数学

多项式运算：

indets可以查看多项式中的未知变量，返回结构以集合的形式表示。

sort多项式各项按高低顺序排序。

例如：

expand(多项式)：展开多项式为单项式之和

expand(多项式,exp1,exp2,…expn)：按因式exp1,exp2,…expn展开表达式

factor：因式分解。factor(表达式，数域)。factor不能对整数进行因式分解，要

想对整数进行因式分解，使用ifactor(整数)。

collect：合并同类项。collect(表达式,变量)，collect(表达式,变量,规则)。变量可

以是单一的，也可以是变量列表或集合。

simplify：化简多项式。simplify(表达式)化简表达式；simplify(表达式，规则)

按照规则化简表达式；simplify(表达式,assume=性质)按照给定的性质化简表达

式。

#即该函数满足x2=x+1,只要出现x2

将用x+1代替

多项式的乘法：两个多项式相乘仅用乘号不够，还要用expand或factor告诉

maple多项式相乘后是展开形式还是因式形式。

多项式的除法：rem(f,g,x)计算f/g的余式；rem(f,,g,x,’q’)计算f/g的余式，并将

商赋给q；quo(f,g,x)计算f/g的商；quo(f,g,x,’r’)计算f/g的商，并将余式赋给变

量r；divide(a,b,’q’)判断a是否整除b，若整除，将商赋给q。

判别式discrim：

有理分式：有理多项式和有理分式，多项是看成分明是1的分式。有理分式的类型

名是ratpoly。

expand只能对分式的分子进行展开，并把结果表示为多个分式和的形式；factor

首先把分式简化，然后对分式的分子和分母进行因式分解，collect对分式不起

作用。

op(1,rp)访问有理式rp的分子；op(2,rp)访问有理式的分母；numer(表达式)表

达式的分子，denom(表达式)表达式的分母。

normal(表达式)将表达式化为标准分式，对多项式不起作用，simplify可化简分

式

分式的变量替换和多项式的类似，使用subs或eval。

求和与乘积

add和mul要求循环范围是确定的数，更适合数值序列求和、求积；sum、product

的循环范围可以是文字或无穷，更适合公式推导，add、mul可对数组元素进行

运算，而sum、product不能直接对数组元素进行运算。sum和product还有相

应的惰性函数Sum、Product(第一个字母大写)。

Error,unabletoexecuteadd

求和范围是列表类型：

下标变量与求和通项

Error,badindexintoVector

初等代数方程和方程组

lhs(方程)、rhs(方程)分别获取方程等号左边和右边的项。isolate(方程，表达式)

化简方程，使表达式仅出现在方程的左边，右边不见其影。

solve(方程，变量)：求解方程中的变量，方程可以是方程组或不等式，变量可以

是变量列表或集合，还可以省略，当方程元素是符合或准确数时，solve求方程

的准确解(解析解)，当方程元素是实数时，solve计算方程的近似解(数值解)。

有时准确解过于复杂，需要用evalf求得近似解。如下

如果将方程其中一个元素的整数系数改成小数，如在3后加个小数点.，则solve直接

给出近似解。

解的参数形式

求解方程组：solve主要求解低阶升温线性方程组或多项式方程组。方程组有无

穷多解，返回方程组的通解。

求解不等式：solve函数可以求解不等式，通过函数RealRange和Open表示求

解的结果。其中RealRange(a,b)表示以a、b为端点的区间

[a,b],RealRange(()Open(a),Open(b))表示不包括端点的开区间(a,b)。a,b可以是

数值、∞、-∞。

系数带符号的不等式

计算方程的数值解：fsolve(方程，变量，选项)：用数值方法求解方程的近似实

数解，方程也可以是方程组或不等式，变量也可以是变量列表或集合，变量和

选项都可以省略。fsolve返回一个序列。方程的解按小数形式给出，精度由Digits

控制。

求解递归方程：rsolve(方程，函数，选项)用于求解满足递归方程的函数，选项

控制函数的表示形式，例如series表示解函数按级数形式输出，选项可省略。

求解差分方程组：

三角函数及变换：系统默认的是弧度作为参数单位。

convert函数可以进行角度和弧度间的转化，

反三角函数和三角函数类似，返回弧度值，反三角函数还可以用复合函数的形

式表示，如：(f@@3)(x)表示f(f(f(x)))，(f@@(-3))(x)表示f-1(f-1(f-1(x))).

恒等变换与三角函数展开：combine(表达式,变量,选项)可将表达式中的多个和

式、乘积、幂次项合并为一个和式、乘积、幂次。将多个Int、Sum、Limit表

达式合并为一个Int、Sum、Limit表达式。

将两个积式合并为一。

利用convert函数可将三角函数化为只含sin、cos、tan的形式。

双曲函数及其反函数：

第3章微积分

极限与连续

limit(f,x=a,dir)：计算x趋于a时f的值，f为代数表达式，x为变量名，a为表

达式，数值、∞、-∞，dir为逼近的方向，可取left或right、real(缺省值，实

数轴的两方向的极限)或complex(复平面上的所有方向的极限)。当函数的极限不

存在时，返回undefined。

Limit为惰性函数

计算多变量函数极限

检验连续性：iscont(表达式,x=a..b,选项)按选项检验表达式在区间a~b上的连续

性。当选项为”open’或缺省时，a~b是开区间，当选项为”close”时，a~b是闭区

间，此时要求函数在端点的单边极限存在且有限。

寻找间断点：singular(表达式,变量,区间)表达式在区间内的奇点；discont(表达

式,变量)表达式的间断点；fdiscont(表达式,区间,分辨率,变量,选项)数值方法求表

达式在区间内的间断点。

导数与微分：

求导：diff(f,[x1,x2,……xn])、diff(f,x1,x2,……xn)计算表达式f关于变量x1，

x2，……xn的偏导数，其中x1,x2,……xn可重复出现。

Diff是惰性函数，使用格式与diff相同。

链式法则求导：

设u(t)=ln(x2+y2+z2),x=et,y=t,z=lnt,求u’(t)。

微分算子：函数D称为微分算子，它与diff功能类似，但只作用于函数形式，

而不是函数值。D(f)、D[i](f)、D[i](f)(x)其中f为函数，i为正整数或正整数序列，

对应于被求导的变量。D[i](f)计算关于第i个变量的偏导数，D[i](f)(x)计算点x

处的导函数值。

D作用于函数sin，得到函数cos，输入和输出都是函数名，不需给出自变量。

隐函数求导：implicitdiff(f,y,x)、implicitdiff(f,y,u,x)f为关于x和y的表达式、方

程或其集合，x为自变量或其序列，y为相关变量或集合，u为y的元素或子集。

当方程的个数大于相关变量的个数时，或者导数不存在时，implicitdiff返回FAIL.

积分：

int(f,x)不定积分；int(f,x=a..b,选项)定积分；Int(f,x)不定积分的惰性形式；

Int(f,x=a..b,选项)定积分的惰性形式。其中选项有continuous(不考虑积分中的不

连续点)、CauchyPrincipalValue(视积分在不连续点的左右极限为同一极限，且

正负无穷可以抵消)和AllSolutions(给出定积分在不同情况下的所有的解).

重积分：通过调用多次单变量实现，即int的嵌套。而student函数包则提供了

计算二重积分和三重积分的惰性函数Doubleint和Tripleint。Doubleint(f,x,y)、

Doubleint(f,x,y,Domain)、Doubleint(f,x=a..b,y=c..d)、Tripleint(f,x,y,z)、

Tripleint(f,x,y,z,Domain)、Tripleint(f,x=a..b,y=c..d,z=e..f)，Domain为积分区域

的名称。

换元积分：changevar(s,f)、changevar(s,f,u)f是积分表达式，u是新的积分变量，

当f为重积分时，u为新变量列表，使用changevar函数前，需先调用student

函数包，changevar也可以用于极限、求和表达式的变量替换。

直接对上面的函数积分：

分部积分：intparts(f,u)：计算

假设惰性积分f可以写成为的形式，

intparts是惰性函数，它的运算结果中仍有积分式，还要调用value函数才能计算出

积分值。使用intparts前，需要先调用student函数包。

计算

，

曲线积分：student函数包中的Lineint函数可以计算曲线积分。Lineint(f,x,y)、

Lineint(f,x,y,z)。

Lineint(f(x,y),x,y)计算f(x,y)关于参数y的线积分，y的范围可以指定y=a..b,Lineint

只做简单的化简，欲做进一步的计算可以使用value函数。

旋转曲面积分：SurfaceOfRevolution(f(x),x=a..b)计算平面曲线y=f(x),

绕x

轴旋转所得的旋转曲面的表面积，VolumeOfRevolution(f(x),x=a..b)计算平面曲线

y=f(x)，绕x轴旋转所得的旋转体的体积。还可以通过设置选项来改变旋转

方式。

SurfaceOfRevolution(f(x),x=a..b，选项)，

VolumeOfRevolution(f(x),x=a..b,

选项)。在使用前，要调用student函数包。

广义积分：广义积分仍使用int函数，可使用changevar函数和intparts函数。

数值积分：student函数包中：leftsum(f(x),x=a..b,n)：左矩形公式、

leftbox(f(x),x=a..b,n,绘图选项)、middlesum(f(x),x=a..b,n):中矩形公式，

middlebox(f(x),x=a..b,n,绘图选项)、rightsum(f(x),x=a..b,n):右矩阵公式、

rightbox(f(x),x=a..b,n,绘图选项)、trapezoid(f(x),x=a..b,n)：梯形公式、

simpson(f(x),x=a..b,n):辛普森公式。

计算定积分的数值近似时，更为一般的方法是使用evalf函数。或者使用浮点数的

形式表示积分的范围。最常用的是evalf(Int())

用浮点表示积分的范围时直接给出数值积分值。

运行的时间：

级数：

幂级数展开：series(f(x),x=a,n)给出f(x)在x=a处的n次Tayor展式或n项Laurent

展式，如果只写x，表示在x=0处的展开，n为非负整数，默认是6.

泰勒展开：taylor(f(x),x=a,n)对f(x)在x=a处做n次泰勒展开。

多元泰勒展开：mtaylor(f(x),x=a,n)对f(x)在x=a处做n次泰勒展开，其中x、a

为变量列表或集合，n为非负整数，缺省值是6，与series及taylor不同的是，

mtaylor的返回值中不含O(xa)项。

积分变换：fourier(f(t),t,w)、invfourier(F(w),w,t)、fouriersin(f(t),t,s)、

fouriercos(f(t),t,s).

laplace变换：laplace(f(t),t,s)、invlaplace(F(s),s,t)分别计算laplace变换及其反变

换。

离散变换：

FourierTransform函数和InverseFourierTransform函数仅适用于数值计算，无法

进行符号运算，用户可在选项中设置变换的算法，algorithm=mintime(快速算法，

缺省值)，algorithm=minstorage(内存优化算法)或algorithm=DFT(古典算法)。

Z变换：ztrans(f,n,x)、invztrans(f,x,n)。ztrans和invtrans为maple的标准库函

数，可直接使用。

第4章线性代数

关于线性代数函数包：

linalg函数包中的函数可做数值计算和符号计算，侧重于抽象的线性代数运算。

linalg函数包中常用的数据类型为matrix和vector，它们都是由数据类型array

以及基本类型list所派生出来的，不同数据类型list、array、matrix、vector可

混合使用。

LinearAlgebra和student[LinearAlgebra]函数包：LinearAlgebra的函数名都以

大写字母开头，常用的数据类型是Array、Matrix和Vector，它们都基于数据

类型rtable。严格区分不同数据类型，不能混用。矩阵的加减法用+-号，乘法用

A.B，运算结果立即显示。

VectorCalculus和student[VectorCalculus]函数包：向量

向量的定义和运算

Vector[类型](维数，初值，选项)：其中类型可为行向量(row)、列向量(column)，

缺省值是column。Vector为标准库函数。

Error,cannotassigntoaread-onlyVector

将列表转化为行向量：

随机向量：RandomVector[类型](维数,选项)类型与Vector相同，RandomVector

位于LinearAlgebra函数包中。

向量的运算：向量的线性加减法和数乘：U+V,c*U，其中U、V为向量，c为常

数。VectorAdd(U,V,c1,c2,选项)计算向量U和V的线性组合c1*U+c2*V。为

LinearAlgebra函数包中的函数。

内积和外积：U.V或DotProduct(U,V)，U&xV或CrossProduct(U,V)，

BilinearForm(U,V,S)，运算符“.”为标准库函数，&x、DotProduct、CrossProduct

存在于LinearAlgebra和VectorCalculus中，用法和结果稍有差别。BilinearForm

存在于LinearAlgebra中，s的缺省值为单位阵。

长度和角度：Norm(V,p)或VectorNorm(V,p)、Normalize(V,p)、VectorAngle(U,V)

分别计算向量V的p范数、单位化向量和向量U、V的夹角。其中Norm、

Normalize分别位于LinearAlgebra和VectorCalculus中，在函数包

LinearAlgebra中，p的缺省值是infinity。而在VectorCalculus中，p的缺省值

是2，VectorAngle、VectorNorm存在于LinearAlgebra中。

向量空间：Basis(V)、SumBasis([V1,V2,……Vn])、IntersectionBasis([V1,V2,……

Vn])、GramSchmidt(V)分别计算向量组的极大线性无关组、n个向量组的极大

线性无关组、n个向量组生成的子空间的一组基、向量组的Gram-Schmidt正交

化，其中向量V1,V2……Vn为列表或集合。都是LinearAlgebra中的函数。

向量组的正交化：

矩阵的定义：

Matrix(行数,列数,初值,选项)：Matrix为标准库函数，通过设置选项可定义特殊

形式的矩阵。

面板输入矩阵：

上下文菜单：在矩阵上单击右键会出现许多矩阵的命令。

随机矩阵：RandomMatrix(行数,列数,选项)

矩阵的抽取与合成：

矩阵的合成：

矩阵的基本运算：

加法和乘法：

初等变换：

矩阵函数：

行列式：

行（列）向量空间：

特征值和特征向量：

判别相似矩阵：

范数和条件数：

矩阵分解和标准型：

线性方程组：

对于给定的矩阵A,B，GenerateEquations函数可以构造线性方程组AX=B。对

于给定的线性方程组，GenerateMAtrix函数可以提取方程组的系数矩阵，将方

程组转化为矩阵乘积AX=B的形式。都是LinearAlgebra函数包中的函数。

求解线性方程组：

最小二乘解：

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